1) Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość 2, a jego pole powieszchni całkowitej jest równe 24. Obilcz wysokość tego graniastosłupa jeżeli jego podstawą jest:
a-trójkąt,
b-kwadrat,
c-sześciokąt.
2) Ściany boczne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego są kwadratami o polu powieszchni równym 3. Oblicz objętość i pole powieszchni całkowitej tego graniastosłupa. Oblicz długość jego przekątnych.
3) Oblicz pole powiszchni całkowitej i objętość sześcianu, którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.
4) Krwaędź podstawy ostrosłupa prawidłowego ma długość 6, a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz pole powieszchni calkowitej i objętość tego ostrosłupa, jeżeli jego podstawą jest:
a-trójkąt,
b-czworokąt,
c-sześciokąt.
5) Wycinek koła o promieniu 2 i kącie środkowym 90 stopni zwinęto w powierzchnię boczną stożka. Oblicz pole powiszchni całkowitej tego stożka.
6) Pole powieszchni bocznej stożka stanowi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jego pola powieszchni całkowitej. Wyznacz miarę kąta, jaki tworzy wysokość stożka z jego tworzącą.
Zadanka - Graniastosłup Sześcian Ostrosłup Koło Stożek
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Zadanka - Graniastosłup Sześcian Ostrosłup Koło Stożek
1, dla przykładu podpunkt c:
Pole powierzchni całkowitej to \(\displaystyle{ P_c=P_p+P_b}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ P_c=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+6ah}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ P_c=24}\) oraz \(\displaystyle{ a=2}\), stąd
\(\displaystyle{ 24=6\frac{2^2\sqrt{3}}{4}+6\cdot 2h \ \Rightarrow \ h=2-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
2. \(\displaystyle{ P=3=a^2 \iff a=\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ a=h}\)
3. Z zadania \(\displaystyle{ d-2=a \iff a\sqrt{3}-2=a \Rightarrow a=\sqrt{3}+1}\)
I do wzoru.
4. Dla przykładu b.
Ten czworokąt to oczywiście kwadrat. I korzystając z f. tryg. (lub własności tr. o katach 30,60,90) mamy \(\displaystyle{ H=tg30^0\cdot 3=...}\) i \(\displaystyle{ h=\frac{3}{cos30^0}=...}\)
I do wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H, \ P_c=a^2+4ah}\)
5. Pole wycinka jest równe polu powierzchni bocznej stozka (długośc promienia wycinka jest równa dł. tworzącej stozka l=2)
\(\displaystyle{ P_w=P_b \iff \frac{1}{4}\pi 2^2=\pi r \cdot 2 \\
r=\frac{1}{2}}\)
A pole powierzchni cał. \(\displaystyle{ P_c=\pi r^2+\pi rl}\)
6. Wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{2}{3}(\pi r^2+\pi rl)=\pi rl \ \Rightarrow 2r=l}\)
I obliczamy rozwartośc kata \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{r}{l}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=60^0}\)
Pole powierzchni całkowitej to \(\displaystyle{ P_c=P_p+P_b}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ P_c=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+6ah}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ P_c=24}\) oraz \(\displaystyle{ a=2}\), stąd
\(\displaystyle{ 24=6\frac{2^2\sqrt{3}}{4}+6\cdot 2h \ \Rightarrow \ h=2-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
2. \(\displaystyle{ P=3=a^2 \iff a=\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ a=h}\)
Ukryta treść:
3. Z zadania \(\displaystyle{ d-2=a \iff a\sqrt{3}-2=a \Rightarrow a=\sqrt{3}+1}\)
I do wzoru.
4. Dla przykładu b.
Ten czworokąt to oczywiście kwadrat. I korzystając z f. tryg. (lub własności tr. o katach 30,60,90) mamy \(\displaystyle{ H=tg30^0\cdot 3=...}\) i \(\displaystyle{ h=\frac{3}{cos30^0}=...}\)
I do wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H, \ P_c=a^2+4ah}\)
5. Pole wycinka jest równe polu powierzchni bocznej stozka (długośc promienia wycinka jest równa dł. tworzącej stozka l=2)
\(\displaystyle{ P_w=P_b \iff \frac{1}{4}\pi 2^2=\pi r \cdot 2 \\
r=\frac{1}{2}}\)
A pole powierzchni cał. \(\displaystyle{ P_c=\pi r^2+\pi rl}\)
6. Wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{2}{3}(\pi r^2+\pi rl)=\pi rl \ \Rightarrow 2r=l}\)
I obliczamy rozwartośc kata \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{r}{l}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=60^0}\)