Ostrosłup prawidłowy trójkątnt i jego pole całowite

[Mathijas]

Wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedziach i nie wiem czy ja mam błąd czy w odp jest.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o kącie nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy \(\displaystyle{ 30^{o}}\). Wysokość podstawy ostrosłupa ma długość 12. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

[RyHoO16]

Do obliczenia pola brakuje nam tylko wysokości ściany bocznej.
Na początek
\(\displaystyle{ \frac{2h}{3b}= \cos 30^{\circ} \iff b= \frac{2h}{3\cos 30^{\circ}}}\),
gdzie h-wysokość podstawy i b-krawędź boczna

Zostaje nam tylko do obliczenia poszukiwana wysokość(tw. Pitagorasa)

\(\displaystyle{ x^2+6^2=8^2 \iff x = \frac{4}{3} \sqrt{21}}\)

\(\displaystyle{ P=48(\sqrt{7}+\sqrt{3})}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}=12}\)
\(\displaystyle{ a=8 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} \cdot 12=8}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} \cdot 12=4}\)

\(\displaystyle{ tg30^0= \frac{H}{R}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}= \frac{H}{R}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{ \sqrt{3}R }{3}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{ 8\sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ h^2=H^2+r^2}\)
\(\displaystyle{ h^2= \frac{192}{9}+16}\)
\(\displaystyle{ h^2= \frac{336}{9}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{4 \sqrt{21} }{3}}\)

zatem
\(\displaystyle{ P_c=3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \frac{4 \sqrt{21} }{3} + \frac{(8 \sqrt{3} )^2 \cdot \sqrt{3} }{4}=...=48(\sqrt{7}+ \sqrt{3})}\)

[Mathijas]

Niestety RyHoO16 zadanie rozwiązał dobrze Sherlock. Dzięki !!!