graniastosłup wpisano w stożek

[panisiara]

W stożek o promieniu R i kącie rozwarcia a wpisano graniastosłup prawidłowy trójkątny w taki sposób, ze dolna podstawa graniastosłupa zawiera sie w podstawie stożka,a wierzchołki górnej podstawy leżą na pow. bocznej stożka. Oblicz objętość graniastosłupa wiedząc, że wszystkie jego krawędzie są równej długości.

[Sherlock]

Oznaczmy długość krawędzi graniastosłupa przez x.
Rysujemy przekrój osiowy stożka (na rysunku po lewej jasnoszara płaszczyzna przekroju) - trójkąt równoramienny. W ten trójkąt wpisany jest prostokąt (przekrój graniastosłupa) o bokach \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x \sqrt{3} }{2}}\)(wysokość podstawy graniastosłupa czyli wysokość trójkąta równobocznego).
Zauważamy dwa podobne trójkąty równoramienne zatem:
\(\displaystyle{ \frac{H-x}{H} = \frac{\frac{x \sqrt{3} }{2}}{2R}}\)
Do wyliczenia x potrzebujemy H:
\(\displaystyle{ ctg \frac{\alpha}{2}= \frac{H}{R}}\)
\(\displaystyle{ H=R ctg \frac{\alpha}{2}}\)
mając x wyliczysz objętość