stożki-procentowy stosunek

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kama-kamisko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 13 lut 2008, o 18:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Oława
Podziękował: 20 razy

stożki-procentowy stosunek

Post autor: kama-kamisko »

Witam mam takie zadanko:

ile procent objętości stożka stanowi objętość górnej jego części odciętej płaszczyzną równoległą do podstawy, przechodzącą przez punkt leżący na wysokości stożka w odległości 1/3 wysokości od wierzchołka

ja wymyśliłam że k= frac{1}{3} a objętość całego do objętości odciętego=k ^{3} i nie wiem co dalej
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

stożki-procentowy stosunek

Post autor: Sherlock »

Narysuj przekrój osiowy i prostą równoległą do podstawy stożka i przechodzącą przez podany w zadaniu punkt. Mamy dwa podobne trójkąty równoramienne, wysokość mniejszego do wysokości większego (czyli przekroju stożka) to:
\(\displaystyle{ \frac{H_m}{H}= \frac{ \frac{1}{3}H }{H}= \frac{1}{3} =k}\)
zatem objętości stożków:
\(\displaystyle{ \frac{V_m}{V}=( \frac{1}{3} )^3}\)
\(\displaystyle{ V_m= \frac{1}{27} V}\)
czyli objętość małego stożka stanowi:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{27} V}{V} \cdot 100\% = \frac{1}{27}\cdot 100\% \approx 3,7 \%}\) objętości dużego
jola0626
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 gru 2009, o 00:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn

stożki-procentowy stosunek

Post autor: jola0626 »

A wg mnie to nie jest do końca prawda, nie można stosunków objętości w ten sposób porównać...
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi R^{2} H}\) -objętość "dużego" stożka
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{3} \pi r^{2} h}\) -objętość "małego" stożka
z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ h= \frac{1}{3} H}\)
z podobieństwa przekrojów (trójkąty powstałe z wysokości tworzącej i promienia) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}= \frac{H}{R}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3} H }{r}= \frac{H}{R} \Rightarrow r= \frac{1}{3} R}\)
Po podstawieniu do wzoru na objętość mamy
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{3} \pi ( \frac{1}{3} R)^{2} \frac{1}{3}H= \frac{1}{27} \pi R^{2} H}\)
i tu na pierwszy rzut oka jest ok, ale % to bym policzyła tak:

\(\displaystyle{ V=100 \%}\)
\(\displaystyle{ v=x}\)
-----------
\(\displaystyle{ x= \frac{v \cdot 100 \% }{V} = 11,11 \%}\)
za V i v podstawiamy:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi R^{2} H}\)

\(\displaystyle{ v= \frac{1}{27} \pi R^{2} H}\)
i wyjdzie
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

stożki-procentowy stosunek

Post autor: Sherlock »

jola0626 pisze: Po podstawieniu do wzoru na objętość mamy
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{3} \pi ( \frac{1}{3} R)^{2} \frac{1}{3}H= \frac{1}{27} \pi R^{2} H}\) i tu na pierwszy rzut oka jest ok
nie do końca bo \(\displaystyle{ v= \frac{1}{3} \pi ( \frac{1}{3} R)^{2} \frac{1}{3}H= \frac{1}{81} \pi R^2 H}\)
czyli nasze \(\displaystyle{ v= \frac{1}{27}V}\)
ODPOWIEDZ