Jaka jest największa możliwa objętość sześcianu zawartego w półkuli o promieniu R?
----------------
coś nie wychodzi: ;
\(\displaystyle{ a = \frac{2R}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ V = (\frac{2R}{ \sqrt{2} }) ^{3} = 2\sqrt{2} R^{3}}\)
wynik się nie zgadza z odpowiedziami na końcu ;
Objętość sześcianu zawartego w półkuli
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 1 sty 2008, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 56 razy
Objętość sześcianu zawartego w półkuli
Zdaje mi się, że sześcian będzie miał największą objętość, jeśli będzie wpisany w tą półkulę, tak, że jego podstawa będzie zawarta w kole ograniczającym półkulę.
Wówczas promień półkuli będzie przeciwprostokątną trójkąta o bokach 1/2a (połowa krawędzi podstawy sześcianu) i a (wysokość sześcianu). Mam nadzieję, że jakoś znośnie to opisałem
Wówczas z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2 + \left( \frac{1}{2}\right)^2 = R^2}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{2 \sqrt{5} R}{5}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{8 \sqrt{5} R^3}{25}}\)
A jaka jest odpowiedź z tyłu?
Wówczas promień półkuli będzie przeciwprostokątną trójkąta o bokach 1/2a (połowa krawędzi podstawy sześcianu) i a (wysokość sześcianu). Mam nadzieję, że jakoś znośnie to opisałem
Wówczas z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2 + \left( \frac{1}{2}\right)^2 = R^2}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{2 \sqrt{5} R}{5}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{8 \sqrt{5} R^3}{25}}\)
A jaka jest odpowiedź z tyłu?
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 1 sty 2008, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wielkopolska
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 56 razy
Objętość sześcianu zawartego w półkuli
Fakt, troszeczkę pomyliłem Ci moją pierwszą odpowiedzią ... sorki.
Promień półkuli w tym sześcianie to odległość między środkiem podstawy, a wierzchołkami ściany górnej (a nie środkami krawędzi jak wcześniej liczyłem). Jest to przeciwprostokątna trójkąta o bokach a (wysokość) i \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\) (połowa przekątnej podstawy).
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = R^2}\)
stąd \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{6}}{3}R}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{2 \sqrt{6} }{9} R^{3}}\)
Teraz powinno się zgadzać, sorki za pomyłkę.
Promień półkuli w tym sześcianie to odległość między środkiem podstawy, a wierzchołkami ściany górnej (a nie środkami krawędzi jak wcześniej liczyłem). Jest to przeciwprostokątna trójkąta o bokach a (wysokość) i \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\) (połowa przekątnej podstawy).
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = R^2}\)
stąd \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{6}}{3}R}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{2 \sqrt{6} }{9} R^{3}}\)
Teraz powinno się zgadzać, sorki za pomyłkę.