Objętość sześcianu zawartego w półkuli

[Daro-]

Jaka jest największa możliwa objętość sześcianu zawartego w półkuli o promieniu R?

----------------

coś nie wychodzi: ;

\(\displaystyle{ a = \frac{2R}{ \sqrt{2} }}\)

\(\displaystyle{ V = (\frac{2R}{ \sqrt{2} }) ^{3} = 2\sqrt{2} R^{3}}\)

wynik się nie zgadza z odpowiedziami na końcu ;

[Baca48]

Zdaje mi się, że sześcian będzie miał największą objętość, jeśli będzie wpisany w tą półkulę, tak, że jego podstawa będzie zawarta w kole ograniczającym półkulę.

Wówczas promień półkuli będzie przeciwprostokątną trójkąta o bokach 1/2a (połowa krawędzi podstawy sześcianu) i a (wysokość sześcianu). Mam nadzieję, że jakoś znośnie to opisałem

Wówczas z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ a^2 + \left( \frac{1}{2}\right)^2 = R^2}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{2 \sqrt{5} R}{5}}\)

\(\displaystyle{ V = \frac{8 \sqrt{5} R^3}{25}}\)

A jaka jest odpowiedź z tyłu?

[Daro-]

wynik sie nie zgadza z odpowiedziami na koncu..

[Baca48]

a mógłbyś napisać jaka odpowiedź jest z tyłu książki?

[Daro-]

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{6} }{9} R^{3}}\)

[Baca48]

Fakt, troszeczkę pomyliłem Ci moją pierwszą odpowiedzią ... sorki.

Promień półkuli w tym sześcianie to odległość między środkiem podstawy, a wierzchołkami ściany górnej (a nie środkami krawędzi jak wcześniej liczyłem). Jest to przeciwprostokątna trójkąta o bokach a (wysokość) i \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\) (połowa przekątnej podstawy).

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = R^2}\)

stąd \(\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{6}}{3}R}\)

\(\displaystyle{ V = \frac{2 \sqrt{6} }{9} R^{3}}\)

Teraz powinno się zgadzać, sorki za pomyłkę.