Jak obliczyć pole podstawy graniastosłupa?

Bartex4 · Post autor: **Bartex4** » 11 mar 2009, o 14:57

Oto treść zadania:
Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \(\displaystyle{ 27\sqrt{2}}\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.
Z góry dziękuję osobą, które mi pomogą.

Marmon · Post autor: **Marmon** » 11 mar 2009, o 15:11

Przekątna graniastosłupa tworzy z przekątna podstawy kąt 45 stopni.
\(\displaystyle{ tg45=\frac{H}{a \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ V=Pp*H=27\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}*H=27\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a=3}\)
\(\displaystyle{ Pp=9}\)

Bartex4 · Post autor: **Bartex4** » 11 mar 2009, o 15:13

mógłbyś wytłumaczyć tą pierwszą linijkę twojego zapisu?

Marmon · Post autor: **Marmon** » 11 mar 2009, o 15:17

Narysuj graniastosłup to raz, potem polącz jeden wierzchołek podstaw z przeciwnym mu wierzchołkiem podstawy górnej. Następnie poprowadź przekątna w podstawie dolej z wierzchołka z którego poprowadziłeś przekątna graniastosłupa. Powstaje ci trójkąt prostokątny o bokach
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) - przekątna podstawy
\(\displaystyle{ d}\) przekątna graniastosłupa

Między \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) mieści się kąt 45 stopni
W funkcji trygnometrycznych robisz tangens tego kąta i masz to co napisałem wcześniej

Bartex4 · Post autor: **Bartex4** » 11 mar 2009, o 15:56

Rozpiszesz mi to zadanie proszę bardzo proszę nie wiem jak to obliczyć. Przyznam się trochę nie rozumiem tych tangesów.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 11 mar 2009, o 16:34

Ponoć jeden obrazek to tysiąc słów

Podam alternatywną wersję rozwiązania bez tangensów (może nie miałeś jeszcze funkcji trygonometrycznych? )
Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy d (czyli przekątna kwadratu) oraz wysokość graniastosłupa H tworzą trójkąt prostokątny ABC. Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą to na rysunku czerwony kąt \(\displaystyle{ 45^0}\). Możemy policzyć jaką miarę ma kąt ACB: \(\displaystyle{ \sphericalangle ACB=180^0-90^0-45^0=45^0}\) co to oznacza? nasz trójkąt prostokątny jest także równoramienny czyli krótko mówiąc \(\displaystyle{ H=d}\) (to są ramiona).

d to przekątna kwadratu czyli \(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\) (możesz to policzyć np. z tw. Pitagorasa)

Wiemy, że objętość tego graniastosłupa:
\(\displaystyle{ V=a^2H=27 \sqrt{2}}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ H=d=a \sqrt{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^2 \cdot a \sqrt{2}=27 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a^3=27}\)
\(\displaystyle{ a=3}\)

Pole podstawy to pole kwadratu czyli \(\displaystyle{ P_p=a^2}\)