Zadanie z ostroslupem

[Marcinek]

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu \(\displaystyle{ 1m^{2}}\). Dwie ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z nią kąty o miarach odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Oblicz objętość ostrosłupa.

[Tristan]

Wydaje mi się, że za mało jest danych, aby to policzyć. Czy to może jednak, ma być kwadrat - a nie prostokąt?

[DEXiu]

Heh. Mylisz się Tristan Jednak jest wystarczająco danych. Zauważmy, że skoro dwie ściany boczne są prostopadłe do podstawy, a ma to być ostrosłup, to oczywistym jest, że muszą to być ściany sąsiednie, a nie przeciwległe. Oczywistym jest też, że krawędź wspólna tych ścian bedzie prostopadła do podstawy (jako część wspólna dwóch płaszczyzn prostopadłych do danej). Ściany te będą miały kształt trójkątów prostokątnych, których kąt ostry przy płaszczyźnie będzie miał dla jednej ściany \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), a dla drugiej \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) (nie wiem czy trzeba się z tego specjalnie tłumaczyć - to po prostu kąty nachylenia pozostałych ścian). Oznaczając krawędzie przy podstawie jako \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a wysokość jako \(\displaystyle{ h}\) otrzymujemy dwa równanka:
\(\displaystyle{ h=atg\frac{\pi}{3}\\h=btg\frac{\pi}{6}}\)
Mnożąc je stronami i korzystając z tego że \(\displaystyle{ ab=1}\) (jednoski pomijam) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ h^{2}=tg\frac{\pi}{3}tg\frac{\pi}{6}=1\,\Leftrightarrow\,h=1}\)
Zatem szukana objętość wynosi \(\displaystyle{ \frac{abh}{3}=\frac{1}{3}\,m^{3}}\)