wyznaczyc cosinus w ostroslupie

greg0702 · Post autor: **greg0702** » 11 mar 2009, o 14:13

Ostrosłup ktorego podstawa jest kwadrat o boku 4 ma dwie przylegle sciany boczne prostopadle do plaszczyzny podstawy. Pozostale dwie sciany boczne sa nachylone do plaszczyzny podstawy pod katem 45 stopni. Wyznacz cosinus kata jaki tworzy najdluzsza krawedz boczna ostroslupa z plaszczyzna podstawy

RyHoO16 · Post autor: **RyHoO16** » 11 mar 2009, o 15:40

Oznaczenia:
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ a}\) - dł. podstawy
\(\displaystyle{ x}\) - najdłuższa krawędź boczna

Wyliczamy tą najdłuższą krawędź( tw. Pitagorasa) \(\displaystyle{ h^2+(a\sqrt{2})^2=x^2}\)
Następnie dostajemy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 4, \ \ 4 \sqrt{2}, \ \ x}\)

Korzystamy z tw. cosinusów
\(\displaystyle{ (4 \sqrt{2})^2=x^2+4^2-8x \cos \alpha \iff \cos \alpha = \frac{x^2+4^2-(4 \sqrt{2})^2}{8x}}\)

greg0702 · Post autor: **greg0702** » 12 mar 2009, o 15:45

ale skad wiadomo jaka dlugosc ma wysokosc??-- 12 marca 2009, 16:22 --bo zeby obliczyc ten x z Pitagorasa to musze miec podane dwie pozostale wartosci. Przekatna kwadratu jest a wysokosc??

RyHoO16 · Post autor: **RyHoO16** » 12 mar 2009, o 18:21

Jak obliczyć wysokość?
Hmm ... może tak:
Poprowadź wysokość ściany bocznej(tej która jest nachylona pod 45 stopniami) . Następnie prowadzisz odcinek, który przechodzi przez przecięcie przekątnych oraz prostą równoległa(y) to wysokości.
powstaje nam trapez prostokątny w którym w łatwy sposób obliczamy (y). Teraz już tylko z podobieństwa figur i mamy nasze (h)

Mi wyszło tak jak wyżej \(\displaystyle{ h=4}\)