Jak obliczy wysokośc czworościanu foremnego??

Avaratus · Post autor: **Avaratus** » 10 mar 2009, o 19:19

mam takli problem jak w temacie?

kthxb · Post autor: **kthxb** » 10 mar 2009, o 19:40

\(\displaystyle{ h=a \sqrt{ \frac{2}{3} }}\)

Avaratus · Post autor: **Avaratus** » 10 mar 2009, o 19:42

no tak ale jak wyciągnąć ten wzór ??

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 10 mar 2009, o 19:44

Potraktuj czworościan foremny jak prawidłowy ostrosłup trójkątny, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku takim jak podstawa. Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu wpisanego (także opisanego) w podstawę zatem wysokość możesz policzyć na dwa sposoby z tw. Pitagorasa (zrób rysunek, będzie łatwiej )
\(\displaystyle{ H^2+r^2=h^2}\)
gdzie H - wysokość ostrosłupa, r - promień okręgu wpisanego w podstawę, h - wysokość ściany bocznej
lub
\(\displaystyle{ H^2+R^2=a^2}\)
gdzie H - wysokość ostrosłupa, R - promień okręgu opisanego na podstawie, a - krawędź ściany bocznej

Avaratus · Post autor: **Avaratus** » 10 mar 2009, o 19:56

a czy mógłbyś wyciągnąc mi ten wzór bo sam za bardzo nie umiem

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 10 mar 2009, o 20:01

Podstawa i ściany boczne to trójkąty równoboczne o boku a:
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} h=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} h=\frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}=\frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
Pozostaje wyliczyć H:
\(\displaystyle{ H^2+(\frac{a \sqrt{3} }{6})^2=(\frac{a \sqrt{3} }{2})^2}\)
lub z tego
\(\displaystyle{ H^2+(\frac{a \sqrt{3} }{3})^2=a^2}\)

Avaratus · Post autor: **Avaratus** » 10 mar 2009, o 20:08

ale z tego nie wychodzi ten wzór wysokośc czworościanu

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 10 mar 2009, o 20:24

Jest OK policz powoli i dokładnie, wynik jest taki jak podał kthxb lub (po wyciągnięciu niewymierności) \(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{6} }{3}}\)