walec

[rejpmi]

Walec o wysokosci H i promieniu podstawy R przecięto płaszczyzną równoległą do jego podstawy. Pole podstawy walca jest średnią geometryczną pół powierzchni bocznych otrzymanych brył. Oblicz długość odcinków na jakie ta płaszczyzna podzieła wysokosc walca.

[Kristofer90]

x,y - szukane długości odcinków
r i H traktujemy jako wiadome

\(\displaystyle{ P_{p}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ r^{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{1}}\)\(\displaystyle{ =2}\)\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ rx}\)
\(\displaystyle{ P_{2}}\)\(\displaystyle{ =2}\)\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ ry}\)
\(\displaystyle{ x+y=H}\)

średnia geometryczna:
\(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)\(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \sqrt{(2 \pi rx)(2 \pi ry)}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ r^{2}}\)\(\displaystyle{ =4xy}\)

Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{2}=4xy\\H=x+y\end{cases}}\)

Ostatecznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x = \frac{H - \sqrt{H^{2} - R^{2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{H + \sqrt{H^{2} - R^{2}}}{2}}\)
przy czym \(\displaystyle{ H \ge R}\)

Jakby były jakieś błędy, pytania, to pisać ;]