Sfera styczna do krawędzi, prostopadłościan -> sześcian

[patry93]

Witam.

Udowodnić, że jeżeli wszystkie krawędzie prostopadłościanu są styczne od pewnej sfery, to prostopadłościan ten jest sześcianem.

Hm, nie wiem czy poprawnie rozumuję, ale sfera jest styczna do wszystkich krawędzi, więc weźmy dowolną ścianę tego prostopadłościanu i niech będzie ona wyznaczona przez wierzchołki A, B, C, D. Czworokąt ABCD jest prostokątem oraz przekrój danej sfery płaszczyzną wyznaczoną przez punkty A, B, C wyznacza nam okrąg wpisany w prostokąt ABCD. Skoro jednak można wpisać w prostokąt ABCD okrąg, to znaczy, że \(\displaystyle{ AB+CD=BC+AD \iff 2AB=2BC \iff AB=BC}\), więc ABCD jest kwadratem.
Analogicznie poczynamy z pozostałymi ścianami, co kończy rozwiązanie zadania.

Proszę o sprawdzenie.

Pozdrawiam, P.

[kertoip_90]

Bardzo dobrze, na pewno jest to poprawne rozwiązanie.