Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania - :
Dany jest czworościan foremny o krawędzi a= \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Oblicz kąt beta pod jakim nachylona jest krawędź boczna do płaszczyzny podstawy oraz objętość tego ostrosłupa.
Czworościan foremny - objętość i ...
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Czworościan foremny - objętość i ...
Mamy \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\).
Wysokość czworościanu ma, w myśl twierdzenia Pitagorasa, długość równą \(\displaystyle{ h=\sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}}\). Stąd i ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^3\sqrt{18}}{36}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}}\). Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\), to \(\displaystyle{ V=\frac{2}{3}}\).
Wysokość czworościanu ma, w myśl twierdzenia Pitagorasa, długość równą \(\displaystyle{ h=\sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}}\). Stąd i ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^3\sqrt{18}}{36}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}}\). Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\), to \(\displaystyle{ V=\frac{2}{3}}\).