Stożek + koło = problem

[hubert632]

Stożek o wysokości długości h wpisano w kulę. Oblicz objętość kuli wiedząc ,że jest ona cztery razy większa od objętości stożka.

Jest to arcy trudne zadanie z mojego zbioru tzn. sygnowane dwoma gwiazkami... są jacyś śmiałkowie na sali?

[florek177]

z porównania objętości: \(\displaystyle{ R^{3} = r^{2} \, H}\) ;
\(\displaystyle{ H = R + x \,\,\,}\) i po podstawieniu: \(\displaystyle{ \,\,\, R^{2} = ( H - R )^{2} + r^{2} \,\,}\) --> po podstawieniu \(\displaystyle{ r^{2} \,\,}\) i przekształceniach: \(\displaystyle{ \,\,\, R = \frac{1}{2} \, ( H + \frac{R^{3}}{H^{2}}) \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ R = \frac{H}{2} \, ( \sqrt{5} - 1 )}\)

[południowalolka]

Nie rozumiem skad się wzieło ze \(\displaystyle{ R= \frac{H}{2} ( \sqrt{5}-1)}\)
Bede wdzieczna za wytłumaczenie..

[florek177]

Bardzo proszę:
\(\displaystyle{ \,\,\, R = \frac{1}{2} \, ( H + \frac{R^{3}}{H^{2}}) \,\,\,}\) --> przekształcam do równania : \(\displaystyle{ R^{3} - 2 \, H^{2} \, R + H^{3} = 0 \,\,\,}\) --> równanie jest spełnione dla \(\displaystyle{ R = H}\).
Dzielę równanie przez : \(\displaystyle{ \,\,\, ( R - H ) \,\,\,}\) i otrzymuję równanie kwadratowe : \(\displaystyle{ \,\,\, R^{2} + H \, R - H^{2} \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{5} \, H \,\,\,}\) i \(\displaystyle{ R \,\,\,}\) jak wyżej.
Z trzech pierwiastków zostaje tylko ten jeden.

[południowalolka]

Dziękuje bardzo