Obracamy trójkąt a na dokłdkę ostrosłup trójkątny-2 zadania

[Seen3242]

Męczą mnie te dwa zadania i męczą a ja ich zmęczyć nie potraię, pomóżcie. Zadania do matury poziom rozszerzony.

1.Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt o boku a i katach przyleglych do niego \(\displaystyle{ \alpha}\) i 3 \(\displaystyle{ \alpha}\). Spodek Wysokości S' jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a krawdź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) . Wyznacz objętość ostrosłupa.

2.Trójkąt o bokach 4,6,8 obraca się wokół najdluższego boku. Oblicz pole i objętość otrzymanej bryły.

Proszę o pomoc i drobne wyjaśnienia bo pomysły mi się skończyły. To chyba załamanie myślowe po 3 dniach liczenia zadań

[Justka]

1. Może w ten sposób.

Obliczmy długość promienia okręgu opisanego na podstawie \(\displaystyle{ R=|AS'|}\) korzystając z tw. sinusów
\(\displaystyle{ 2R=\frac{a}{sin(180-4\alpha)} \ \Rightarrow \ R=\frac{a}{2sin4\alpha}}\)

I teraz nie trudno zauważyć, że \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{H}{R} \iff H=\frac{a}{2sin4\alpha}\cdot tg\alpha}\)

Potrzebujemy jeszcze pole podstawy \(\displaystyle{ P_p=\frac{a^2\cdot sin\alpha \cdot sin3\alpha}{2sin(180-4\alpha)}}\)

Więc objętość \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\cdot sin\alpha \cdot sin3\alpha}{2sin4\alpha} \cdot \frac{a}{2sin4\alpha}\cdot tg\alpha}\)

I teraz można się pobawić w upraszczanie tego

2. Po obrocie powstaną dwa stożki złączone podstawami. Wysokość trójkata o bokach 4,6,8 opuszczona na bok długości 8 będzie pomieniem podstawy tych stożków.

AU

3088os1.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 51 razy

Wysokość można obliczyć np. tak :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=8 \\ a^2+h^2=4^2 \\ b^2+h^2=6^2 \end{cases} \ \Rightarrow \ h=\frac{3\sqrt{15}}{4}}\)

Objętość: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi h^2 a+\frac{1}{3}\pi h^2 b=\frac{1}{3}\pi h^2(a+b)=45\pi}\)

Pole (dwie powierzchnie boczne stozków o tworzących 4 i 6 )
\(\displaystyle{ P=\pi h \cdot 6+\pi h \cdot 4=\frac{15\sqrt{15}}{2}}\)

Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłam