objętość ostrosłupa

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 4 mar 2009, o 15:58

Proszę o pomoc:

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest \(\displaystyle{ 2}\) razy krótsza od krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
a. Wyznacz objętość ostrosłupa jeżeli jego wysokość ma dł \(\displaystyle{ 3cm}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 4 mar 2009, o 16:04

W podstawie masz trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ a=2 \cdot 3=6 cm}\). Policz pole podstawy i już możesz podstawiać do wzoru na objętość

Liesel · Post autor: **Liesel** » 4 mar 2009, o 16:12

Wychodzi, że:
\(\displaystyle{ Ob= \frac{h^{3} \sqrt{3} }{3}}\)

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 4 mar 2009, o 19:47

objętość wyszła mi \(\displaystyle{ 9 \sqrt{3}}\)

mam jeszcze jeden podpunkt:

b. wyznacz miarę kąta dwusiecznego pomiędzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi

i wyszło mi, że \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{2h ^{2}-a ^{2} }{2h ^{2} }}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 4 mar 2009, o 20:00

jackow005 pisze:kąta dwusiecznego

nie chodzi przypadkiem o kąt dwuścienny?

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{2h ^{2}-a ^{2} }{2h ^{2} }}\) jak widzę, skorzystałeś z tw. cosinusów, ok ale zauważ, że użyte h to nie jest wysokość ostrosłupa ale wysokość ściany bocznej (ściana boczna to trójkąt równoramienny, a wspomniana wysokość opada na ramię czyli krawędź ostrosłupa). Musisz zatem wyrazić h za pomocą wysokości ostrosłupa i/lub krawędzi podstawy

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 4 mar 2009, o 21:02

tak powinno być dwuściennego (pomyłka)

a h wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}}{3}}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 4 mar 2009, o 21:29

Sprawdź te h,

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Policzymy pole ściany bocznej:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}h_1a}\)
potrzebujemy \(\displaystyle{ h_1}\) \(\displaystyle{ h_1^2=r^2+H^2}\), jak wiemy \(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) zatem wylicz \(\displaystyle{ h_1}\) i pole ściany bocznej.
Pole ściany bocznej to także:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} hb}\), potrzebujemy b \(\displaystyle{ b^2=H^2+R^2}\), jak wiemy \(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) wyliczysz b, podstawisz do wzoru na pole (pole już tez znasz) i wyjdzie h

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 5 mar 2009, o 13:43

dzięki ja liczyłem z 1 wzoru, i mam pytanie, czy h1=h?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 5 mar 2009, o 16:34

Niestety, w tym przypadku \(\displaystyle{ h \neq h_1}\)

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 5 mar 2009, o 18:45

a dla kąta dwuściennego to muszę obliczyć h1, tak?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 5 mar 2009, o 20:45

tak, bo ramiona kąta pomiędzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tworzą wysokości \(\displaystyle{ h_1}\), jak wyliczysz \(\displaystyle{ h_1}\) to podstaw poniżej w miejsce \(\displaystyle{ h}\):

jackow005 pisze:\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{2h ^{2}-a ^{2} }{2h ^{2} }}\)

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 7 mar 2009, o 10:22

hmmm...a ja licząc miałem na myśli h..

Czy dobrze narysowałem kat? Bo może ja źle myślę...

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 7 mar 2009, o 10:48

Kąt masz dobrze zaznaczony ale powtarzam, że w tym zadaniu \(\displaystyle{ h \neq h_1}\) , policz \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h}\) to przekonasz się, że mają różne długości
żeby nie było nieporozumień, \(\displaystyle{ H}\) to wysokość ostrosłupa, \(\displaystyle{ h_1}\) to wysokość ściany bocznej (trójkąta równoramiennego) opadająca na podstawę, \(\displaystyle{ h}\) to wysokość tego trójkąta ale opadająca na jego ramię - do policzenia cosinusa kąta między ścianami potrzebujesz \(\displaystyle{ h}\)

jackow005 · Post autor: **jackow005** » 8 mar 2009, o 09:43

Przepraszam, że tak nękam, ale wyliczyłem h1= \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}}{3}}\)

i do czego teraz to podstawić? bo się pogubiłem....

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 8 mar 2009, o 12:39

No to od początku

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Należy wyznaczyć miarę kąta dwuściennego pomiędzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Skorzystamy z tw. cosinusów w trójkącie którego wierzchołkami są zielone punkciki czyli (zerknij na rysunek):
\(\displaystyle{ a^2=h^2+h^2-2 \cdot h \cdot h \cdot cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ a}\) mamy (6 cm), ale nie mamy \(\displaystyle{ h}\) jak to policzyć?
Ścianami ostrosłupa są przystające trójkąty równoramienne, gdyby udało się policzyć pole i krawędź boczną ściany to udałoby się policzyć \(\displaystyle{ h}\) bo:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} hb}\)
no ale nie mamy ani pola ani \(\displaystyle{ b}\) co teraz?
Pole ściany można policzyć też tak!
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}h_1a}\)
\(\displaystyle{ a}\) mamy a \(\displaystyle{ h_1}\) możemy policzyć z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ {h_1}^2=H^2+r^2}\)
\(\displaystyle{ H=3 cm}\), \(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} =\frac{1}{3} \cdot \frac{6 \sqrt{3} }{2}= \sqrt{3} cm}\)
Czyli pole P już możesz policzyć
wracamy do naszego wzoru:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} hb}\) czego jeszcze brakuje do policzenia \(\displaystyle{ h}\)? \(\displaystyle{ b}\)!
Też policzymy z tw. Pitagorasa (zerknij na rysunek):
\(\displaystyle{ b^2=H^2+R^2}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} =\frac{2}{3} \cdot \frac{6 \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3} cm}\)
Wylicz \(\displaystyle{ b}\) i już możemy wyliczyć \(\displaystyle{ h}\) ze wzoru na pole ściany tzn. \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} hb}\) a potem wyliczone \(\displaystyle{ h}\) wrzuć do tw. cosinusów z początku tego postu. Myślę, że teraz już wszystko jasne Pozdrawiam