Sześcian podzielony na 2 bryły

[Natmat]

Sześcian podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły z których jedna ma pięć, a druga sześć ścian. Pole powierzchni całkowitej tej bryły, która ma pięć ścian jest równe połowie pola powierzchni sześcianu. Oblicz tangens kąta nachylenia płaszczyzny dzielącej sześcian do płaszczyzny podstawy.

Próbowałam różnych kombinacji, ale cały czas czegoś mi brakuje.

[Justka]

AU

9hnync.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 1529 razy

Bryła mająca 5 ścian (czyli ta taka jasno różowa?) ma pole powierzchni równe: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot 6a^2=3a^2}\)

Z drugiej strony rozkładając na kawałki ta bryłę mamy (kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) dwa tr. prostokątne o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a,x}\) i prostokąta o bokach \(\displaystyle{ a,x}\) i bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+x^2}}\))

\(\displaystyle{ P=a^2+2\cdot \frac{1}{2}ax+ax+a\sqrt{a^2+x^2} =a^2+2ax+a\sqrt{a^2+x^2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ 3a^2=a^2+ax+a\sqrt{a^2+x^2} \ \Rightarrow \ \sqrt{a^2+x^2}=2a-2x \ \Rightarrow \ x=...}\)

I tangens kąta nachylenia \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{x}{a}}\)

Powodzenia

[Natmat]

Doszłam do tego samego, tylko nie wiem czy dalej dobrze robię więc czy mogłabyś/mógłbyś wyliczyć do końca i podać jaki wynik Ci wyszedł, bo chciałabym sprawdzić czy mam taki sam

[Justka]

Mogłabym

Wyszło mi \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{4-\sqrt{7}}{3}}\). : ]

[Natmat]

dzięki, mi również tak wyszło ale wyszedł mi też drugi przypadek, że \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{4+ \sqrt{7} }{3}}\), na jakiej podsawie go odrzuciłaś?

[Justka]

Prawdopodobnie przy podnoszeniu obustronnie do kwadratu równania \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+x^2}=2a-2x}\) nie uwzględniłaś tego, że \(\displaystyle{ 2a-2x>0 \ \Rightarrow \ a>x}\). Pierwiastkami równania były liczby \(\displaystyle{ x_1=\frac{4a-a\sqrt{7}}{3}}\) i \(\displaystyle{ x_2=\frac{4a+a\sqrt{7}}{3}}\). Stąd jedynym rozw jest \(\displaystyle{ x_1}\), ponieważ \(\displaystyle{ x_2>a}\).

[Trexx]

Przepraszam, utknęłam w pewnym momencie, a mianowicie:
x=...



tam ma wyjść równanie kwadratowe? Mógłby ktoś to bardziej szczegółowo rozpisać?