graniastoslup. 8/262

[monnaria01]

Jakie wymiary powinien mieć graniastosłup o podstawie kwadratowej, aby jego objętość była równa 4cm3, a pole powierzchni wynosiło 18cm2.

[Sherlock]

Taki graniastosłup ma objętość (a - krawędź podstawy, H - wysokość):
\(\displaystyle{ V=a^2H}\)
pole powierzchni całkowitej:
\(\displaystyle{ P_{p}=4 \cdot aH+2 \cdot a^2}\) (suma pól wszystkich ścian)
zatem pozostaje rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=a^2H \\ 18=4 \cdot aH+2 \cdot a^2 \end{cases}}\)

[monnaria01]

Przykro mi, ale nie umiem obliczyc tego rownania. Zle mi ciagle wychodzi:| Prosze, pomoz!!

[Sherlock]

Czy w zadaniu \(\displaystyle{ 18 cm^2}\) to pole powierzchni bocznej graniastosłupa? jeśli tak to układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=a^2H \\ 18=4 aH\end{cases}}\)
i teraz powinnaś policzyć bez problemu (wyznacz H z pierwszego równania i podstaw do drugiego)

jeśli jednak \(\displaystyle{ 18 cm^2}\) to pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, to... mamy sajgonki...

\(\displaystyle{ a>0, H>0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=a^2H \\ 18=4 aH+2 \cdot a^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4}{a^2}=H \\ 9=2aH+ a^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4}{a^2}=H \\ 9=2a \cdot \frac{4}{a^2}+ a^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 9= \frac{8}{a}+ a^2}\)
\(\displaystyle{ 0=\frac{8}{a}+ a^2-9}\)
\(\displaystyle{ 0= \frac{a^3-9a+8}{a}}\)
teraz trzeba policzyć pierwiastki równania \(\displaystyle{ a^3-9a+8=0}\) (czyli licznik, bo mianownik nie może być równy 0 - nie dzieli się przez 0). Zauważamy, że 1 jest pierwiastkiem: \(\displaystyle{ 1^3-9 \cdot 1+8=0}\)
zatem zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian \(\displaystyle{ a^3-9a+8=0}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (a-1)}\). Zatem dzielimy (pisemnie lub schemat Hornera):
\(\displaystyle{ a^3-9a+8 : a-1=a^2+a-8}\) czyli nasze równanie możemy zapisać:
\(\displaystyle{ 0= \frac{(a-1)(a^2+a-8)}{a}}\)
trzeba jeszcze sprawdzić czy \(\displaystyle{ a^2+a-8=0}\)ma pierwiastki, liczymy deltę \(\displaystyle{ \Delta=33}\), pierwiastki \(\displaystyle{ a_1= \frac{-1+ \sqrt{33} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a_2= \frac{-1- \sqrt{33} }{2}}\). \(\displaystyle{ a_2}\) nie bierzemy pod uwagę bo długość krawędzi nie może być ujemna. Ufff... czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ 0= \frac{(a-1)(a-\frac{-1+ \sqrt{33} }{2})(a-\frac{-1- \sqrt{33} }{2})}{a}}\)
a więc długość krawędzi może wynosić:
\(\displaystyle{ a=1}\) wtedy \(\displaystyle{ H=4}\) lub
\(\displaystyle{ a=\frac{-1+ \sqrt{33} }{2}}\) wtedy \(\displaystyle{ H= \frac{8}{17- \sqrt{33} } = \frac{17+ \sqrt{33} }{32}}\)
idea rozwiązania prosta, ale obliczenia... ufff... pozdrawiam i przepraszam jeśli niejasno tłumaczyłem

[monnaria01]

właśnie o to chodziło:> nic dziwnego, że nie dałam rady obliczyć:) Dzieki:*