pole przekroju graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

[xxxxx]

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a i wysokości 3a. poprowadzono płaszczyznę zawierającą wysokość dolnej podstawy i wierzchołek górnej podstawy w ten sposób, że otrzymany przekrój nie jest prostopadły do podstawy. Oblicz pole tego przekroju.
Tak właściwie to chodzi mi tylko o odpowiedź, bo nie zgadza mi się z odp z tyłu książki i nie wiem czy gdzieś zrobiłam błąd, przynajmniej go nie widzę. Moja odp:\(\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{435}}{16}}\) a wg książki\(\displaystyle{ \frac{a^{2} \sqrt{111}}{8}}\) Jeśli wyszło Wam to co w odpowiedziach książki to proszę o napisanie całego rozwiązania, wtedy może zobaczę gdzie mam błąd:P

[piotrekgabriel]

\(\displaystyle{ \begin{cases}P=\frac{x\cdot h}{2}\\h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\x=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+H^{2}}\\H=3a\end{cases} \Rightarrow P=\frac{\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(3a)^{2}} \cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{9+\frac{1}{4}}\sqrt{3} a^{2}}{4}=\frac{\sqrt{37\cdot 3}a^{2}}{8}=\frac{a^{2}\sqrt{111}}{8}}\)

EDIT, bo sie pomylilem
Wcześniej mi wyszedl na koncu \(\displaystyle{ \sqrt{435}}\) też - bo potraktowałem \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jako \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{12}{4}}}\) i gdzieś się walnąłem w liczeniu...

[xxxxx]

Ale z Twojego rysunku wynika ze ten przekrój jest prostopadły do podstawy a nie ma byc. Ja zrobilam tak ze podstawa przekroju to przekątna trójkąta równobocznego. potem policzyłam jego krawędzie i wyszło mi że są równe \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{37}a}{2}}\) gdzie a to krawędź podstawy granisatosłupa a potem liczyłam przekątną tego przkroju i mi wyszlo \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{145}a}{4}}\) i stąd takie pole jak podałam. Czy to ja gdzieś popełniłam błąd czy Ty?

[piotrekgabriel]

Przekrój byłby prostopadły do podstawy, gdyby przechodził przez "środkowy" wierzchołek, wtedy przekrojem byłby prostokąt.

Poza tym, trójkąt nie ma przekątnej

[xxxxx]

oczywiscie chodzilo mi o wysokość;p