Objetosc i pole powierzchni bocznej stozka

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
gosia1516
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 5 lis 2006, o 13:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Objetosc i pole powierzchni bocznej stozka

Post autor: gosia1516 »

pole przekroju stozka jest rowne P, a kat rozwarcia stozka ma miare alfa, oblicz objetosc tego stozka oraz jego pole powierzchni bocznej .
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objetosc i pole powierzchni bocznej stozka

Post autor: Chromosom »

Witam!
Objętość stożka obliczamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h}\)
zaś pole powierzchni bocznej ze wzoru:
\(\displaystyle{ P=\pi rl}\).
Wiedząc, że pole przekroju wynosi P, a kąt wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\), można rozwiązać trójkąt prostokątny, który jest połową przekroju stożka. Jeden kąt wynosi a, więc drugi musi wynosić 90-a. Pole równe P/2 wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P/2=\frac{rh}{2}}\), gdzie r jest promieniem stożka, a h - wysokością. Promień stożka oraz jego wysokość pozostają w stosunku \(\displaystyle{ h=tg \alpha r}\). Mamy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} P=rh \\ h=tg \alpha r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} P=r^2 tg\alpha \\ h=tg \alpha r \end{cases}}\)

Pole trójkąta oraz miarę kąta mamy w danych. Wyznaczamy wartość r z pierwszego równania

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=\sqrt{\frac{P}{tg \alpha}} \\ h=tg \alpha \sqrt{\frac{P}{tg \alpha}} \end{cases}}\)

Możemy obliczyć objętość stożka z pierwszego wzoru, który podałem.

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi \frac{P}{tg \alpha}*tg \alpha \sqrt{\frac{P}{tg \alpha}}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi P*\sqrt{\frac{P}{tg \alpha}}}\)

Podobnie z powierzchnią boczną. Długość tworzącej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\(\displaystyle{ l=\sqrt{P tg\alpha + \frac{P}{tg \alpha}}}\)

Podstawiamy do wzoru.

\(\displaystyle{ P_b=\pi * \sqrt{\frac{P}{tg \alpha}} * \sqrt{P tg\alpha + \frac{P}{tg \alpha}}}\)
\(\displaystyle{ P_b=\pi * (P^2+\frac{P^2}{tg^2 \alpha})}\).

Mam nadzieję, że wszystko jest zrozumiałe. Sprawdź z odpowiedziami, bo mogłem się pomylić. Gdybyś potrzebowała pomocy, pytaj. Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ