Oblicz objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego mając dany promień \(\displaystyle{ r}\) koła wpisanego w podstawę i miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) kąta płaskiego ściany bocznej przy podstawie ostrosłupa.
Dla zainteresowanych rozwiązanie:
\(\displaystyle{ h _{p} = 3r}\) - wysokości w trójkącie dzielą \(\displaystyle{ h _{p}}\) na 3 równe części
\(\displaystyle{ h _{p} = \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) - wysokość w trój. równobocznym
więc podstawiając:
\(\displaystyle{ 3r = \frac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{3} r}\)
teraz trzeba policzyć wysokość ściany bocznej ( \(\displaystyle{ h}\) ):
\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{h}{ \frac{a}{2} } \Rightarrow h = tg \alpha * \frac{2 \sqrt{3}r }{2}}\)
liczymy wysokość ostrosłupa( \(\displaystyle{ H}\) ) z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h ^{2} = r ^{2} + H ^{2} \Rightarrow H = r \sqrt{3tg ^{2} \alpha - 1}}\)
Mamy wysokość ostrosłupa, teraz potrzebujemy tylko pola podstawy:
\(\displaystyle{ P _{p} = \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) - za \(\displaystyle{ a}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3} r}\) co daje:
\(\displaystyle{ P _{p} = 3 \sqrt{3} r ^{2}}\)
obliczamy objętość:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} * 3 \sqrt{3} r ^{2} * r \sqrt{3tg ^{2} \alpha - 1} \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ V = r ^{3} \sqrt{9tg ^{2} \alpha - 3 }}\)
\(\displaystyle{ h _{p}}\) - wysokość podstawy
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa