W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDA'B'C'D' wierzchołek C' połączono z wierzchołkami podstawy ABCD. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa ABCDC', jeżeli krawędź podstawy graniastosłupa a=6cm , a przekątna graniastosłupa AC' jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) =30 stopni.
Bez trygonometrii. Z góry dzięki.
granistosłup - gimnazjum
-
wilk
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 37 razy
granistosłup - gimnazjum
bez trygonometrii to będzie ciężko. Postaram się pokazać rozwiązanie z użyciem trygonometrii ale chcę zwrócić uwagę że zawsze można ją obejść stosując znane związki miarowe np w trójkącie równobocznym który można utworzyć dorysowywując brakującą część ( wątpię czy wyraziłem się jasno 
)
możemy utworzyć trójkąt prostokątny z przekątnej podstawy wysokości do wierzchołka c' i przekątnej AC'
. przekątna podstawy jest równa 6\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)mam nadzieję że nie muszę tłumaczyć czemu.
Następnie z trygonometrii obliczamy wysokość granastosłupa \(\displaystyle{ tg30}\)=\(\displaystyle{ \frac{h}{6\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)} }\)z tego wynika że wysokość jest równa 2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)
więc objętość ostrosłupa jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)\(\displaystyle{ 6^{2}}\)*2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)=
=24\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) mam nadzieję że jest dobrze
pole pow bocznej składa się z dwóch trójkątów prostokątnych o polach 2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)*6*\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)= 6\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)
a pole pozostałych trzech boków można by wyliczyć z twierdzenia herona bo znamy trzy boki tych trójkątów. Zdaje sobie sprawę że to nie jest eleganckie rozwiązanie i musi istnieć lepszy sposób na obliczenie pola pow bocznej ale że nie było odpowiedzi na to zadanie to chociaż to chciałem przedstawić
)możemy utworzyć trójkąt prostokątny z przekątnej podstawy wysokości do wierzchołka c' i przekątnej AC'
. przekątna podstawy jest równa 6\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)mam nadzieję że nie muszę tłumaczyć czemu.
Następnie z trygonometrii obliczamy wysokość granastosłupa \(\displaystyle{ tg30}\)=\(\displaystyle{ \frac{h}{6\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)} }\)z tego wynika że wysokość jest równa 2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)
więc objętość ostrosłupa jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)\(\displaystyle{ 6^{2}}\)*2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)=
=24\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) mam nadzieję że jest dobrze
pole pow bocznej składa się z dwóch trójkątów prostokątnych o polach 2\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)*6*\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)= 6\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)
a pole pozostałych trzech boków można by wyliczyć z twierdzenia herona bo znamy trzy boki tych trójkątów. Zdaje sobie sprawę że to nie jest eleganckie rozwiązanie i musi istnieć lepszy sposób na obliczenie pola pow bocznej ale że nie było odpowiedzi na to zadanie to chociaż to chciałem przedstawić