stożek opisany na kuli

[karrina]

na kuli o promieniu 1 opisano stożek. objętość stożka jest funkcją jego wysokości. podaj wzór i dziedzinę tej funkcji. jakie są wymiary stożka o najmniejszej objętości

[piotrekgabriel]

Zastosujmy oznaczenia jak na rysunku.
Zauważamy, że trójkąty ASW i WOE są podobne. R=1, i stąd mamy zależność
\(\displaystyle{ \frac{r}{H}=\frac{1}{\sqrt{(H-1)^2-1^{2}}} \Rightarrow r=\frac{H}{\sqrt{H^{2}-2H}}}\)

Ten promień podstawy wstawiamy do wzoru na objętość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ V=\frac{\pi\cdot r^{2}\cdot H}{3}=\frac{\pi\cdot (\frac{H}{\sqrt{H^{2}-2H}})^{2}\cdot H}{3}\\
V(H)=\frac{\pi}{3} \cdot \frac{H^{2}}{H-2}}\)

Aby obliczyć dziedzinę, musimy pamiętać, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} H \neq 2\\ r \ge R \\ H \ge R \\ V>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} H \neq 2\\ \frac{H}{\sqrt{H^{2}-2H}} \ge 1 \\ H \ge 1 \\ \frac{H^{2}}{H-2}>0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} H \neq 2\\ H^{2}\ge H^{2}-2H \\ H \ge 1 \\ H\neq 0 \\ H>2 \end{cases}\Rightarrow H>2}\)
O ile się nie pomyliłem, \(\displaystyle{ D_{f}=(2,+ \infty )}\)

Objętość najmniejsza to najmniejsza wartość funkcji V(H) w dziedzinie. Nie pamiętam jak to się robiło z funkcją wymierną - oczywiście o ile nie wyszła mi błędnie, bo najczęściej w takich zadaniach wychodzi zwykła kwadratowa i trzeba tylko policzyć wierzchołek.