Podstawą ostrosłupa jest romb o długości boku 18cm. Każda ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 stopni. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa wynosi \(\displaystyle{ 432cm^{2}}\). Oblicz objętość ów ostrosłupa.
Obliczyłam wysokość ściany bocznej ze wzoru na pole bocznej powierzchni ostrosłupa:
\(\displaystyle{ 4 \frac{1}{2} \cdot 18cm \cdot h=432cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ 36cm \cdot h=432cm^{2} /:36cm}\)
\(\displaystyle{ h=12cm}\)
Chciałam dalej wykorzystać fakt, że każda ze ścian bocznych tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45stopni i "wyjąć" trójkąt z ostrosłupa, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej, obliczona wyżej, a przyprostokątnymi wysokość ostrosłupa i połowa boku rombu(podstawy). Otrzymujemy wtedy trójkąt 45st, 45st i 90st, a więc połówkę kwadratu. Jednak coś nie pasuje. Wysokość ostrosłupa winna mieć 9cm, a tymczasem korzystając z wzoru na przekątną kwadratu, która równa się wysokości ściany bocznej(12cm) wychodzi \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\).
Objętość ostrosłupa znając podstawę, kąt i pole pow. bocznej
-
pinksaid
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 15 lip 2008, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trn
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 9 razy
Objętość ostrosłupa znając podstawę, kąt i pole pow. bocznej
Problemem w zadaniu jest to, iż w podstawie mamy romb przez co nasuwają się złudne skojarzenia z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym z kwadratem w podstawie, które w gruncie rzeczy przy rysowaniu wyglądają identycznie.
Twoje założenia są dobre z małą jednak różnicą. Kiedy wyjmujesz w/w trójkąt, to jego przeciwprostokątna rzeczywiście jest wysokość ściany bocznej, a jedną z przyprostokątnych wysokość ostrosłupa, jednak druga przyprostokątna nie jest połową boku rombu, a połową jego wysokości.
Proponuję narysować romb z jego przekątnymi i poprowadzić połowy wysokości od środka przecięcia przekątnych do każdego z boków pod kątem prostym. Może wtedy będzie łatwiej na to spojrzeć.
Teraz przyjmujemy że połowa wysokości rombu to \(\displaystyle{ a}\). Stąd zgodnie z Twoimi założeniami ta połowa wysokości równa jest \(\displaystyle{ \frac{h \sqrt{2} }{2}= 6 \sqrt{2}}\)
Pole podstawy tego ostrosłupa możemy policzyć ze wzoru łączącego bok rombu i jego wysokość:
\(\displaystyle{ 18*2*6 \sqrt{2} = 216 \sqrt{2}}\)
Objętość liczymy ze wzoru \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}*216 \sqrt{2}*6 \sqrt{2} = 864cm ^{2}}\)
Twoje założenia są dobre z małą jednak różnicą. Kiedy wyjmujesz w/w trójkąt, to jego przeciwprostokątna rzeczywiście jest wysokość ściany bocznej, a jedną z przyprostokątnych wysokość ostrosłupa, jednak druga przyprostokątna nie jest połową boku rombu, a połową jego wysokości.
Proponuję narysować romb z jego przekątnymi i poprowadzić połowy wysokości od środka przecięcia przekątnych do każdego z boków pod kątem prostym. Może wtedy będzie łatwiej na to spojrzeć.
Teraz przyjmujemy że połowa wysokości rombu to \(\displaystyle{ a}\). Stąd zgodnie z Twoimi założeniami ta połowa wysokości równa jest \(\displaystyle{ \frac{h \sqrt{2} }{2}= 6 \sqrt{2}}\)
Pole podstawy tego ostrosłupa możemy policzyć ze wzoru łączącego bok rombu i jego wysokość:
\(\displaystyle{ 18*2*6 \sqrt{2} = 216 \sqrt{2}}\)
Objętość liczymy ze wzoru \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}*216 \sqrt{2}*6 \sqrt{2} = 864cm ^{2}}\)