oblicz kąt nachylenia sciany bocznej do plaszczyzny podstawy

[asiunia909]

pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy większe od jego pola podstawy. oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza miarę szukanego kąta, \(\displaystyle{ a}\) - długość krawędzi podstawy, \(\displaystyle{ h}\) - długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Z założenia i wzorów na pole powierzchni trójkąta i kwadratu mamy \(\displaystyle{ 4\cdot\frac{ah}{2}=2\cdot a^2}\). Wobec tego jest \(\displaystyle{ h=a}\). Z definicji kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (przeciwprostokątną jest \(\displaystyle{ h}\), przyprostokątną leżącą przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest odcinek równy połowie krawędzi podstawy ostrosłupa, czyli \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\)) otrzymujemy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{h}=\frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha=60^{o}}\).