przekrój osiowy stożka

[asiunia909]

przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. ile razy pole powierzchni bocznej stożka jest większe od pola jego podstawy? czy pole podstawy, pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny? jeśli tak podaj jego różnicę.

[pinksaid]

Przyjmijmy, że długość boku trójkąta równobocznego tworzącego przekrój osiowy tego stożka ma długość 2r.

Skoro przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny, to jego tworząca jest równa średnicy okręgu znajdującego się w podstawie.

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów:

Pole podstawy:
\(\displaystyle{ \pi r^2}\)

Pole boczne:
\(\displaystyle{ \pi lr = 2\pi r ^2}\)

Zatem
\(\displaystyle{ \frac{2\pi r ^2}{\pi r^2} = 2}\).

Stąd pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ r, l}\) oznaczają promień podstawy i tworzącą stożka odpowiednio. Ponieważ przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, to \(\displaystyle{ l=2r}\). Stąd, ze wzorów na pole koła i pole powierzchni bocznej stożka mamy \(\displaystyle{ \frac{\pi rl}{\pi r^2}=2}\), czyli pole powierzchni bocznej jest dwukrotnie większe od pola podstawy.
Z powyższego dostajemy równość \(\displaystyle{ \pi rl-\pi r^2=(\pi r^2+\pi rl)-\pi rl}\), która dowodzi, że podane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny. Różnicą tego ciągu jest \(\displaystyle{ \pi rl-\pi r^2=2\pi r^2-\pi r^2=\pi r^2}\), czyli pole podstawy stożka.