ostroslup o trapezie w podstawie (Kiełbasa)

[wonap]

Zadanie ze zbioru Kiełbasy
Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o kącie ostrym (alfa), w ktrórym ramię i krótsza podstawa ma długość a. Każda krawędz boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt (beta). Oblicz objętość tego ostrosłupa
Z góry dziekuje

[florek177]

Jeżeli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to na tym ostrosłupie można opisać stożek --> a na podstawie okrąg.
Wysokość ostrosłupa jest równa wysokości stożka, spodki wysokości są w środku okręgu opisanego na podstawie - trapez.

Kąt \(\displaystyle{ \beta \,\,\,}\) zawiera się między krawędzią boczną a promieniem okręgu opisanego na trapezie + wysokość ostrosłupa = trójkąt prostokątny.

Mamy trzy przypadki:
a) trapez leży w jednej części okręgu - ostrosłup pochyły;
b) dłuższa podstawa trapezu zawiera się w średnicy okręgu - połowa sześciokąta foremnego - ściana z dłuższą podstawą jest prostopadła do płaszczyzny;
c) podstawy trapezu leżą po przeciwnych stronach środka okręgu;

[Judasz]

Żadne trzy przypadki
Ponieważ krawędzie boczne są nachylone pod tym samym kątem do płaszczyzny podstawy spodek wysokoci ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na tym trapezie. Problem sprowadza się do obliczenia tego promienia.
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będą wierzchołkami trapezu, a \(\displaystyle{ S}\) spodkiem wysokości. Niech \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) i \(\displaystyle{ \overline{CD}}\)będą podstawami i niech \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) będzie dłuższą podstawą.
Wówczas trójkąty \(\displaystyle{ BCS}\) \(\displaystyle{ CDS}\) i \(\displaystyle{ ADS}\) będą trójkątami równoramiennymi przystającymi o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i ramionach równych promieniowi okręgu opisanego na tym trapezie, kąty przy podstach tych trójkątów będą miały miarę \(\displaystyle{ \frac{180^0 -\alpha}{2}}\).
A teraz obliczenie wysokości ostrosłupa. Np trójkąt \(\displaystyle{ WSA}\) jest prostokątny, gdzie \(\displaystyle{ W}\) jest wierzchołkiem ostrosłupa.
Myślę że wszystko już jasne.
Rachunki zostawiam Tobie.
Powodzenia

[florek177]

Żadne trzy przypadki

Gdybyś przeczytał to co napisałem ze zrozumieniem, to zauważyłbyś, że trzy przypadki - o których napisałem - odnoszą sie wyłącznie do kształtu ostrosłupa, a nie do obliczń.
\(\displaystyle{ \alpha < \frac{\pi}{3} \,\,\,}\) --> a); \(\displaystyle{ \,\,\, \alpha = \frac{\pi}{3} \,\,\,}\) --> b); \(\displaystyle{ \,\,\, \alpha > \frac{\pi}{3} \,\,\,}\) --> c);

[Judasz]

Oj Floruś, Floruś, piszesz pierdoły. Przeczytaj, narysuj, pomyśl i potem ewentualnie krytykuj. Moje rozwiązanie obejmuje wszystkie Twoje "przypadki" i nie warto się rozmieniać na drobne. Proponuję rozwiązać. tak jak napisałem. Mnie się już nie chce, za dużo zadań w życiu rozwiązałem.

[florek177]

Proszę bardzo.
W moich "przypadkach" - istotne są: wysokość ściany zbudowanej na dłuższej podstawie - \(\displaystyle{ h_{s}}\), wysokość ostrosłupa - \(\displaystyle{ H \,\,}\),i wysokość trapezu - \(\displaystyle{ h}\),
Dla \(\displaystyle{ a = 1 \,\,\,}\) i \(\displaystyle{ \beta = \frac{\pi}{3} \,\,\,}\)

\(\displaystyle{ h = sin(\alpha) \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ h_{s} = \sqrt{\frac{2}{sin^{2}(\frac{\alpha}2)}- (\frac{1}{2} + cos(\alpha))^{2}}} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ H = \frac{\sqrt{3} \, cos(\frac{\alpha}{2})}{sin(\alpha)}}\);

dla: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{6} \,\,\,}\) zachodzi \(\displaystyle{ \,\,\, h_{s} > H \,\,\,}\) - ostrosłup jest pochyły;

dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3} \,\,\,}\) zachodzi \(\displaystyle{ \,\,\, h_{s} = H \,\,\,}\) - ściana boczna ostrosłupa jest prostopadła do podstawy;
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{7 \/ \pi}{18} \,\,\,}\) zachodzi \(\displaystyle{ \,\,\, h_{s} > H \,\,\,}\) i \(\displaystyle{ h > R \,\,\,}\) - zachodzi trzeci przypadek.

Możesz to sobie sprawdzić. Ale sadząc po wypowiedzi wyżej, tego nie zrobisz, bo potrafisz się przechwalać, wymądrzać i obrażać innych.

[Dexous]

Mam pytanie odnosnie tego zadania. Skad wiadomo ze promien okregu opisanego na trapezie jest rowny krawedzi ostroslupa ?