Pole walca opisanego na prostopadłościanie

[sylwiasobota90]

W walec wpisano prostopadłościan, którego dłuższa krawędź podstawy ma długość a. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Przekątna ta ze ścianą boczną, zawierającą dłuższą krawędź podstawy, tworzy kąt \(\displaystyle{ \beta}\) . Oblicz pole powierzchni bocznej walca.

[piotrekgabriel]

Przyjmijmy oznaczenia z rysunku.

\(\displaystyle{ \begin{cases} D=\frac{b}{sin \beta} \\ D=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{cos\alpha} \end{cases}}\)

Po przekształceniach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ b^{2}(\frac{cos^{2}\alpha-sin^{2}\beta}{sin^{2}\beta})=a^{2}\\ \\
b=a sin \beta \sqrt{\frac{1}{cos^{2}\alpha-sin^{2}\beta}}}\)

I dalej:
\(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+b^2}=2R\\
H=d tg\alpha\\
P_{b}=2\pi R H}\)