Nie mogę sobie dać rady z takim zadaniem:
W graniastoslupie prawidlowym szesciokatnym najdluzsza przekatna podstawy ma dlugosc d i tworzy z przekatna sciany bocznej wychodzacej z tego samego wierzcholka kat o mierze L(alfa).Wyznacz objetosc graniastoslupa.
graniastosłup 6 kątny
-
Fibik
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 75 razy
graniastosłup 6 kątny
Szesciokąt foremny o boku a.
Promień okręgu opisanego r = a, czyli: d = 2a
Przekątna ściany p, oraz: \(\displaystyle{ p^2 = h^2+a^2}\), h - wysokość tej bryły
Kąt między p i d - alfa
Prowadzimy płaszczyznę przez te przekątne: powstaje trapez równoramienny o bokach:
p i podstawach 2a i a.
Teraz łatwo wyrazimy p poprzez kąt alfa:
\(\displaystyle{ \frac{a}{2p} = \cos(\alpha)\ \to\ p = \frac{a}{2\cos(\alpha)}}\)
wstawiamy to do: \(\displaystyle{ h^2 = p^2 - a^2}\)
zatem:
\(\displaystyle{ h^2 = \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} - a^2 = a^2(\frac{1}{4\cos^2(\alpha)} - 1)\ \to\ h = a\frac{\sqrt{1-4\cos^2(\alpha)}}{2\cos(\alpha)}}\)
Szukana objętość: \(\displaystyle{ V = Sh}\)
gdzie: \(\displaystyle{ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}\), pole 6-kąta foremnego o boku a = d/2
Promień okręgu opisanego r = a, czyli: d = 2a
Przekątna ściany p, oraz: \(\displaystyle{ p^2 = h^2+a^2}\), h - wysokość tej bryły
Kąt między p i d - alfa
Prowadzimy płaszczyznę przez te przekątne: powstaje trapez równoramienny o bokach:
p i podstawach 2a i a.
Teraz łatwo wyrazimy p poprzez kąt alfa:
\(\displaystyle{ \frac{a}{2p} = \cos(\alpha)\ \to\ p = \frac{a}{2\cos(\alpha)}}\)
wstawiamy to do: \(\displaystyle{ h^2 = p^2 - a^2}\)
zatem:
\(\displaystyle{ h^2 = \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} - a^2 = a^2(\frac{1}{4\cos^2(\alpha)} - 1)\ \to\ h = a\frac{\sqrt{1-4\cos^2(\alpha)}}{2\cos(\alpha)}}\)
Szukana objętość: \(\displaystyle{ V = Sh}\)
gdzie: \(\displaystyle{ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}\), pole 6-kąta foremnego o boku a = d/2