Zadanie z płaszczyzną

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

Zadanie z płaszczyzną

Post autor: hubert632 »

Punkty A i B leżą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\). Odcinki \(\displaystyle{ |AC|=a, \ |BD|=b \ (b>a)}\) są prostopadłe do tej płaszczyzny. Uzasadnij, że proste AD i BC przecinają się oraz wyznacz odległość punktu od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).

Ma ktoś jakiś pomysł, bo ja ugryźć tego nie mogę.
Ostatnio zmieniony 24 lut 2009, o 20:29 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Zadanie z płaszczyzną

Post autor: patry93 »

Hm, bardzo ciekawe zadanie!
Odcinki AC i BD są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, więc zachodzi AC || BD. Wobec tego każde trzy punkty spośród A, B, C, D są współpłaszczyznowe. Zatem wszystkie punkty A, B, C, D leżą na pewnej płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\). Więc figura ABCD jest czworokątem, ponadto jest to trapez prostokątny o podstawach AC i BD, czyli proste AD i BC przecinają się, jako przekątne trapezu.
Jeszcze tylko nie wiem jak obliczyć odległość punktu przecięcia od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), ale mam nadzieję, że to chwilowa zaćma
hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

Zadanie z płaszczyzną

Post autor: hubert632 »

Informuj o postępach... Jak by ci się udało to wykminic to byłbym wdzięczny...
Awatar użytkownika
Justka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Zadanie z płaszczyzną

Post autor: Justka »

Przedstawię moje rozwiązanie
AU
AU
14nhdtx.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 56 razy
Trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ AEO}\) są podobne, zatem \(\displaystyle{ \frac{y}{k}=\frac{x+y}{b} \ \Rightarrow \ \frac{k}{b}=\frac{y}{x+y}}\)

Tak samo postępujemy z trójkątami \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ BEO}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{x}{k}=\frac{x+y}{a} \ \Rightarrow \ \frac{k}{a}=\frac{x}{x+y}}\)

Stąd \(\displaystyle{ \frac{k}{a}+\frac{k}{b}=\frac{x+y}{x+y}=1 \iff k=\frac{ab}{a+b}}\)

hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

Zadanie z płaszczyzną

Post autor: hubert632 »

Masz łep kobito... Wielki szacun dla ciebie :]
Piotrek172
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 24 kwie 2010, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zadanie z płaszczyzną

Post autor: Piotrek172 »

Mógłby ktoś pomóc mi z rozważeniem II przypadku? Zapewne jest to tak że jeden z punktów leży pod płaszczyzna a drugi nad, tylko tutaj pojawia sie taki problem ze te proste wtedy sie chyba nie przecinają.
Jak sobie z tym poradzić?
ODPOWIEDZ