Ostrosłup prawidłowy trójkątny

[Kamil18]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski przy wierzchołku wynosi alfa, zaś odległość wierzchołka podstawy od krawędzi bocznej do której nie należy jest równa d. Oblicz V i Pole calkowite ostroslupa

[Justka]

a- krawędź podstawy, h- wysokość ściany bocznej, k- krawędź boczna, H- wysokość ostrosłupa

Korzystając z podanego kąta mamy:

\(\displaystyle{ sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{1}{2}a}{k} \ \Rightarrow \ k=\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}}\\
cos\frac{\alpha}{2}=\frac{h}{k} \ \Rightarrow \ h=\frac{a cos\frac{\alpha}{2}}{2 sin\frac{\alpha}{2}}}\)

Oraz wiemy, że \(\displaystyle{ P_{sb}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}kd}\), czyli

\(\displaystyle{ a\cdot \frac{a cos\frac{\alpha}{2}}{2 sin\frac{\alpha}{2}}= d \cdot \frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}} \ \Rightarrow \ \boxed{a=\frac{d}{cos \frac{\alpha}{2}}}}\)

Obliczamy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H=\sqrt{k^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2}}\)

\(\displaystyle{ H=\sqrt{\frac{a^2}{4sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{3}} \ \Rightarrow \ H=\frac{a\sqrt{3-4sin^2\frac{\alpha}{2}}}{2\sqrt{3} sin\frac{\alpha}{2}} \ \Rightarrow \ H=\frac{d\sqrt{3-4sin^2\frac{\alpha}{2}}}{sin\alpha \sqrt{3}}}\)

I teraz już z górki

Objętość:    

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \frac{(\frac{d}{cos \frac{\alpha}{2}})^2 \sqrt{3}}{4}\cdot \frac{d\sqrt{3-4sin^2\frac{\alpha}{2}}}{sin\alpha \sqrt{3}} \\
V=\frac{d^3\sqrt{3-4sin^2\frac{\alpha}{2}}}{12 sin\alpha cos^2\frac{\alpha}{2}}}\)

Pole:    

\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}ah \\
P=\frac{(\frac{d}{cos \frac{\alpha}{2}})^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{2}\cdot \frac{d}{cos \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{d}{2sin\frac{\alpha}{2}} \\
P=d^2(\frac{\sqrt{3}}{4cos^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{3}{2sin\alpha})}\)