Graniastosłup prawidłowy trójkątny
-
Kamil18
- Użytkownik
- Posty: 134
- Rejestracja: 24 lip 2008, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Słupsk
- Podziękował: 8 razy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędz dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt alfa, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objetosc graniastoslupa.
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Wykorzystujemy podany kąt i wypisujemy zależności
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{h} \ \Rightarrow \ h=\frac{a\sqrt{3}}{2 cos\alpha}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ah \\
S=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2 cos\alpha} \\
a=\sqrt{\frac{S 4cos\alpha}{\sqrt{3}}}}\)
Obliczmy jeszcze wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ H=sin\alpha \cdot h \ \Rightarrow \ H=\frac{a\sqrt{3} sin\alpha}{2 cos\alpha}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H \\
V=\sqrt{S^3 cos\alpha \sqrt{3}} sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{h} \ \Rightarrow \ h=\frac{a\sqrt{3}}{2 cos\alpha}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ah \\
S=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2 cos\alpha} \\
a=\sqrt{\frac{S 4cos\alpha}{\sqrt{3}}}}\)
Obliczmy jeszcze wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ H=sin\alpha \cdot h \ \Rightarrow \ H=\frac{a\sqrt{3} sin\alpha}{2 cos\alpha}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H \\
V=\sqrt{S^3 cos\alpha \sqrt{3}} sin\alpha}\)