graniastosłup z rombem w podstawie

aniolek17 · Post autor: **aniolek17** » 22 lut 2009, o 20:16

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku długości a i kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\)=\(\displaystyle{ \frac{/pi}{3}}\) Wysokość graniastosłupa również ma długość a. Oblicz długość przekątnych tego graniastosłupa. Proszę o pomoc.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 22 lut 2009, o 23:36

Jak widzisz problem sprowadza się do wyliczenia długości przekątnych rombu i skorzystaniu z tw. Pitagorasa (trójkąty prostokątne ABC) w celu wyliczenia przekątnych graniastosłupa (czerwone linie).
W przypadku pierwszej przekątnej policz długość przekątnej rombu AB np. korzystając z tego, że trójkąt ADB jest równoramienny o kącie \(\displaystyle{ 120^0}\) przy wierzchołku (narysuj wysokość i potem z tw. Pitagorasa albo skorzystaj z funkcji trygonometrycznych albo tw. cosinusów - jak wygodnie ).
W drugim przypadku drugiej przekątnej jest łatwiej - kat ostry rombu ma \(\displaystyle{ 60^0}\) więc trójkąt równoramienny ABD jest równoboczny czyli przekątna rombu AB ma długość a.

Mając wyliczone w obu przypadkach przekątne rombu, przekątne graniastosłupa policzysz już bez problemu