Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
prs613
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2008, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z miasta
Podziękował: 147 razy

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: prs613 »

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \(\displaystyle{ 2m^3}\) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa.
thralll
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 29 maja 2008, o 23:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 54 razy

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: thralll »

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie trójkąt równoboczny. Zakładamy, że krawędź podstawy to a a krawędź boczna to h.
Pole podstawy to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\), więc pole powierzchni całkowitej to:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}+3*ah}\) a objętość to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}*h}\)
Najpierw z wzoru na objętość należy wyznaczyć h od a tzn. \(\displaystyle{ 2=\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}*h \Rightarrow h= \frac{2*4}{a ^{2} \sqrt{3} }}\)
Teraz podstawiamy to wyprowadzenie do wzoru na pole powierzchni otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}+3*a*\frac{2*4}{a ^{2} \sqrt{3} }}\)
Po uproszczeniu i redukcji wyrazów podobnych otrzymamy:
\(\displaystyle{ P_{c}=\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{2}+\frac{24}{a \sqrt{3} }}\)
teraz aby znaleźć minimum liczymy pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ P_{c}'=a \sqrt{3}-\frac{24}{a^{2} \sqrt{3} }}\)
i znajdujemy jej miejsca zerowe, wyjdzie a=2 na tej podstawie liczymy h podstawiając po prostu a do wcześniej wyznaczonego wzoru \(\displaystyle{ h= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) tym sposobem znajdujemy długości szukanych boków dla, których pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wydaje mi się, że najtrudniejsze część zadania to obliczenie pochodnej i jej miejsc zerowych, gdyby były z tym problemy postaram się w miarę możliwości wyjaśnić to dokładniej.
pozdrawiam
thralll
kdp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 7 lut 2015, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: kdp »

Witam, czy w powyższym zadaniu jesteśmy w stanie policzyć dla jakiego a oraz h pole powierzchni całkowitej jest największe?
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: Dilectus »

Looknij tu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=Q9NQSXDMnJU


kdp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 7 lut 2015, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: kdp »

Nie mam pojęcia po co mam zerkać na ten filmik. Zadanie z oryginalnym poleceniem potrafię rozwiązać bez najmniejszego problemu, lecz zastanawiam się czy da się policzyć jakie są długości boków aby pole było największe (w poleceniu jest najmniejsze)nie mamy maximum bo nie należy do dziedziny.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: szachimat »

Odpowiedź do pytania "kdp"
Nie da się obliczyć takiego "a", bo rośnie ono do nieskończoności (wtedy "b" odpowiednio maleje), lub maleje do zera (wtedy "b" odpowiednio rośnie).
ODPOWIEDZ