Graniastosłup prawidłowy trójkątny
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 22 wrz 2008, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z miasta
- Podziękował: 147 razy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \(\displaystyle{ 2m^3}\) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa.
-
- Użytkownik
- Posty: 224
- Rejestracja: 29 maja 2008, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 54 razy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie trójkąt równoboczny. Zakładamy, że krawędź podstawy to a a krawędź boczna to h.
Pole podstawy to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\), więc pole powierzchni całkowitej to:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}+3*ah}\) a objętość to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}*h}\)
Najpierw z wzoru na objętość należy wyznaczyć h od a tzn. \(\displaystyle{ 2=\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}*h \Rightarrow h= \frac{2*4}{a ^{2} \sqrt{3} }}\)
Teraz podstawiamy to wyprowadzenie do wzoru na pole powierzchni otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}+3*a*\frac{2*4}{a ^{2} \sqrt{3} }}\)
Po uproszczeniu i redukcji wyrazów podobnych otrzymamy:
\(\displaystyle{ P_{c}=\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{2}+\frac{24}{a \sqrt{3} }}\)
teraz aby znaleźć minimum liczymy pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ P_{c}'=a \sqrt{3}-\frac{24}{a^{2} \sqrt{3} }}\)
i znajdujemy jej miejsca zerowe, wyjdzie a=2 na tej podstawie liczymy h podstawiając po prostu a do wcześniej wyznaczonego wzoru \(\displaystyle{ h= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) tym sposobem znajdujemy długości szukanych boków dla, których pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wydaje mi się, że najtrudniejsze część zadania to obliczenie pochodnej i jej miejsc zerowych, gdyby były z tym problemy postaram się w miarę możliwości wyjaśnić to dokładniej.
pozdrawiam
thralll
Pole podstawy to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\), więc pole powierzchni całkowitej to:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}+3*ah}\) a objętość to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}*h}\)
Najpierw z wzoru na objętość należy wyznaczyć h od a tzn. \(\displaystyle{ 2=\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}*h \Rightarrow h= \frac{2*4}{a ^{2} \sqrt{3} }}\)
Teraz podstawiamy to wyprowadzenie do wzoru na pole powierzchni otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2*\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}+3*a*\frac{2*4}{a ^{2} \sqrt{3} }}\)
Po uproszczeniu i redukcji wyrazów podobnych otrzymamy:
\(\displaystyle{ P_{c}=\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{2}+\frac{24}{a \sqrt{3} }}\)
teraz aby znaleźć minimum liczymy pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ P_{c}'=a \sqrt{3}-\frac{24}{a^{2} \sqrt{3} }}\)
i znajdujemy jej miejsca zerowe, wyjdzie a=2 na tej podstawie liczymy h podstawiając po prostu a do wcześniej wyznaczonego wzoru \(\displaystyle{ h= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) tym sposobem znajdujemy długości szukanych boków dla, których pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wydaje mi się, że najtrudniejsze część zadania to obliczenie pochodnej i jej miejsc zerowych, gdyby były z tym problemy postaram się w miarę możliwości wyjaśnić to dokładniej.
pozdrawiam
thralll
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 7 lut 2015, o 13:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Witam, czy w powyższym zadaniu jesteśmy w stanie policzyć dla jakiego a oraz h pole powierzchni całkowitej jest największe?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 7 lut 2015, o 13:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Nie mam pojęcia po co mam zerkać na ten filmik. Zadanie z oryginalnym poleceniem potrafię rozwiązać bez najmniejszego problemu, lecz zastanawiam się czy da się policzyć jakie są długości boków aby pole było największe (w poleceniu jest najmniejsze)nie mamy maximum bo nie należy do dziedziny.
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Odpowiedź do pytania "kdp"
Nie da się obliczyć takiego "a", bo rośnie ono do nieskończoności (wtedy "b" odpowiednio maleje), lub maleje do zera (wtedy "b" odpowiednio rośnie).
Nie da się obliczyć takiego "a", bo rośnie ono do nieskończoności (wtedy "b" odpowiednio maleje), lub maleje do zera (wtedy "b" odpowiednio rośnie).