Kula w stożku i płaszczyzna

[Viper]

Witam!

W stożek wpisano kulę i poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy stożka i styczną do kuli. Oblicz stosunek objętości części, na które płaszczyzna ta rozcina stożek, wiedząc, że tworząca stożka nachylona jest do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\).

Czyli moim zdaniem otrzymujemy stożek i stożek ścięty. Zapisałem stosunek objętości i uprościłem. Udało mi się też wyliczyć wszystkie kąty. Nie mogę sobie jednak poradzić z zapisaniem tego wszystkiego, tak, aby się skróciło.

Czy ktoś może mi pomóc?

Z góry dziękuję.

[Tristan]

Oznaczenia: wysokość całego stożka- H, wysokość mniejszego stożka (nie-ściętego) to h, promień kuli to r.
Zauważmy, że stożki (cały i ścięty) są podobne, zatem stosunek ich objętości to:
\(\displaystyle{ \frac{V}{V_{1}}=\frac{H^3}{h^3}}\)
Wyrazimy wielkości H i h przez promień R podstawy stożka i dany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ H=R tg }\)
\(\displaystyle{ r=R tg \frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ h=H-2r=R(tg -2 tg \frac{\alpha}{2})}\)
Dzięki temu, mamy:
\(\displaystyle{ \frac{V}{V_{1}}=\frac{R^3 tg^3 }{R^3( tg - 2 tg \frac{ }{2})^3}}\)
Szukany stosunek objętości jest więc równy:
\(\displaystyle{ \frac{V-V_{1}}{V_{1}}=\frac{V}{V_{1}}-1=\frac{ tg^3 }{(tg - 2 tg \frac{\alpha}{2})^3}-1}\)
Upraszczając ostatnie wyrażenie otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{V-V_{1}}{V_{1}}= ctg^6 \frac{\alpha}{2} -1}\)

[Viper]

Bardzo dziękuję za pomoc. Nie mogę sobie poradzić z przekształceniem ostatniego wyrażenia. Mógłbyś mnie naprowadzić? Usiłowałem skorzystać w mianowniku ze wzoru na sześcian różnicy, ale mi nie wychodzi...

Co do podobięnstwa brył. Gdzie mogę o tym coś poczytać?

[Tristan]

Już rozpisuję:
\(\displaystyle{ \frac{tg^3 }{(tg - 2 tg \frac{ }{2})^3}= ( \frac{tg }{tg - 2 tg \frac{ }{2} })^3}\)
Teraz zajmę się tym co w nawiasie, pamiętając o jedynce trygonometrycznej i wzorach skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \large \frac{ tg }{ tg - 2 tg \frac{ }{2}}=\frac{\frac{\sin }{\cos }}{ \frac{ \sin }{\cos }- \frac{2(1-\cos )}{\sin }}= \frac{ \frac{\sin }{\cos }}{\frac{\sin^2 - 2 \cos (1- \cos )}{\sin \cos }}=\frac{\sin }{\cos } \frac{\sin \cos }{\sin^2 - 2 \cos + 2 \cos^2 }=\\= \frac{\sin^2 }{\sin^2 + \cos^2 - 2 \cos + \cos^2 }=\frac{ \sin^2 }{ 1- 2\cos + \cos^2 }=( \frac{ \sin }{ 1- \cos })^2=ctg^2 \frac{1}{2} }\)
No i podstawiając to do początkowego otrzymujemy to co chcemy, czyli \(\displaystyle{ ( ctg^2 \frac{1}{2} )^3= ctg^6 \frac{1}{2} }\)

[Viper]

\(\displaystyle{ ( \frac{ \sin }{ 1- \cos })^2=ctg^2 \frac{1}{2} }\)
No i podstawiając to do początkowego otrzymujemy to co chcemy, czyli \(\displaystyle{ ( ctg^2 \frac{1}{2} )^3= ctg^6 \frac{1}{2} }\)

Nie bardzo rozumiem skąd to wziąłeś, albowiem wg tablic:

\(\displaystyle{ ctg \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos }{sin }}\)

[Tristan]

Na pewno wiesz, że \(\displaystyle{ tg ctg =1}\), więc tak samo dzieje się dla połowy kąta alfa, czyli po podzieleniu przez kotangens otrzymujemy \(\displaystyle{ tg \frac{1}{2} =\frac{1}{ ctg \frac{1}{2} }}\). Teraz, również wg tablic, \(\displaystyle{ tg \frac{1}{2} =\frac{1- \cos }{\sin }}\). Z czego wynika właśnie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ ctg \frac{1}{2} }=\frac{1- \cos }{\sin }}\) z czego mamy, że \(\displaystyle{ ctg \frac{1}{2} = \frac{ \sin }{ 1- \cos }}\). Zauważ jeszcze, że te dwa wzory są sobie równoważne. Dowód? Oczywista jest jedynka trygonometryczna, więc:
\(\displaystyle{ 1= \sin^2 + \cos^2 }\)
\(\displaystyle{ 1- \cos^2 =\sin^2 }\)
\(\displaystyle{ (1+ \cos )(1- \cos )=\sin \sin }\)
\(\displaystyle{ \frac{1+ \cos }{\sin }=\frac{\sin }{1-\cos }\)
Myślę, że teraz już wszystko jest jasne