Siatkę ostrosłupa tworzą 2 trójkąty równoboczne o boku długości 2 cm i 2 trójkąty prostokątne. Oblicz długości wysokości tego ostrosłupa, gdy za podstawę przyjmiemy:
a) trójkąt równoboczny
b) prostokątny
Jak to zrobić?
ostrosłup-długości wysokości
-
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 20 lut 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 35 razy
ostrosłup-długości wysokości
Kąty WAB i WAC są proste. Trójkąty ABC i AWB - równoboczne.
a) Wysokość ostrosłupa to wysokość trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
b) Też
O ile się nie pomyliłem... Da się taki ostrosłup zbudować?
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 6 razy
ostrosłup-długości wysokości
(Do poprzedniego. Ten ostrosłup nie będzie tak wyglądał. Na wszelki wypadek go wyciąłem i ewidentnie był to ostrosłup pochyły.)
Tak wygląda siatka tej figury:
Po złożeniu wygląda to mniej więcej tak (ciężko było mi to na rysować w takim rzucie, by był widoczny interesujący nas trójkąt):
Poniższy rysunek to połączenie trójkąta zaznaczonego na fioletowo i czerwono w poprzednim rysunku.
Skąd wzięło się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\):
Trójkąt prostokątny jest także trójkątem równoramiennym. Skoro jest trójkątem równoramiennym, to oba katy przy przeciwprostokątnej mają miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\). A jeżeli mają miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\) to wiemy, że długość przeciwprostokątnej równa się \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). Nasze "a" = 2, a wiec przeciwprostokątna równa się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\).
Skąd wzięło się \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) to wysokość trójkąta równobocznego. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.
Mając te dwie dane, za pomocą twierdzenia cosinusów obliczamy długość odcina "c". Następnie układamy nierówność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+H^{2}=c^{2}\\(x+\sqrt{3})^{2}+H^{2}=c^{2}\end{cases}}\)
Z której wyliczamy nasze H.
Tak wygląda siatka tej figury:
Po złożeniu wygląda to mniej więcej tak (ciężko było mi to na rysować w takim rzucie, by był widoczny interesujący nas trójkąt):
Poniższy rysunek to połączenie trójkąta zaznaczonego na fioletowo i czerwono w poprzednim rysunku.
Skąd wzięło się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\):
Trójkąt prostokątny jest także trójkątem równoramiennym. Skoro jest trójkątem równoramiennym, to oba katy przy przeciwprostokątnej mają miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\). A jeżeli mają miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\) to wiemy, że długość przeciwprostokątnej równa się \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). Nasze "a" = 2, a wiec przeciwprostokątna równa się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\).
Skąd wzięło się \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) to wysokość trójkąta równobocznego. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.
Mając te dwie dane, za pomocą twierdzenia cosinusów obliczamy długość odcina "c". Następnie układamy nierówność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+H^{2}=c^{2}\\(x+\sqrt{3})^{2}+H^{2}=c^{2}\end{cases}}\)
Z której wyliczamy nasze H.