ostrosłup-długości wysokości

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Nika0102
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 22 lis 2008, o 16:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ssss
Podziękował: 10 razy

ostrosłup-długości wysokości

Post autor: Nika0102 »

Siatkę ostrosłupa tworzą 2 trójkąty równoboczne o boku długości 2 cm i 2 trójkąty prostokątne. Oblicz długości wysokości tego ostrosłupa, gdy za podstawę przyjmiemy:
a) trójkąt równoboczny
b) prostokątny

Jak to zrobić?
piotrekgabriel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 20 lut 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 35 razy

ostrosłup-długości wysokości

Post autor: piotrekgabriel »




Kąty WAB i WAC są proste. Trójkąty ABC i AWB - równoboczne.

a) Wysokość ostrosłupa to wysokość trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

b) Też

O ile się nie pomyliłem... Da się taki ostrosłup zbudować?
Dakkar Fezboul
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zgierz
Podziękował: 6 razy

ostrosłup-długości wysokości

Post autor: Dakkar Fezboul »

(Do poprzedniego. Ten ostrosłup nie będzie tak wyglądał. Na wszelki wypadek go wyciąłem i ewidentnie był to ostrosłup pochyły.)

Tak wygląda siatka tej figury:
Po złożeniu wygląda to mniej więcej tak (ciężko było mi to na rysować w takim rzucie, by był widoczny interesujący nas trójkąt):
Poniższy rysunek to połączenie trójkąta zaznaczonego na fioletowo i czerwono w poprzednim rysunku.
Skąd wzięło się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\):

Trójkąt prostokątny jest także trójkątem równoramiennym. Skoro jest trójkątem równoramiennym, to oba katy przy przeciwprostokątnej mają miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\). A jeżeli mają miarę \(\displaystyle{ 45^{o}}\) to wiemy, że długość przeciwprostokątnej równa się \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). Nasze "a" = 2, a wiec przeciwprostokątna równa się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\).

Skąd wzięło się \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) to wysokość trójkąta równobocznego. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

Mając te dwie dane, za pomocą twierdzenia cosinusów obliczamy długość odcina "c". Następnie układamy nierówność:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+H^{2}=c^{2}\\(x+\sqrt{3})^{2}+H^{2}=c^{2}\end{cases}}\)

Z której wyliczamy nasze H.
ODPOWIEDZ