W tym zadaniu chyba przesadzili z ilością niewiadomych, ale może ktoś zna sposób rozwiązania.
W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym o wysokości długości h kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ostrosłupy - objętość
-
Dakkar Fezboul
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 6 razy
-
mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Ostrosłupy - objętość
\(\displaystyle{ a}\) - długość krawędzi podstawy
1. Z tw. Pitagorasa wylicz długość wysokości ściany bocznej, opuszczonej na krawędź podstawy (uzależniona od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ h}\)).
2. Z tw. Pitagorasa wylicz długość krawędzi bocznej (uzależniona od \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ a}\)).
3. Z tw. cosinusów wylicz długość drugiej wysokości ściany bocznej (uzależniona od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\)).
4. Zauważ, że pole powierzchni ściany bocznej można obliczyć na dwa sposoby (krawędź boczna + wysokość, którą wyliczyłeś z tw. cosinusów oraz krawędź podstawy \(\displaystyle{ a}\) + wysokość opuszczona na krawędź podstawy). Pola te należy przyrównać i wyznaczyć niewiadomą \(\displaystyle{ a}\), uzależniając ją od \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).
5. Wyliczoną wartość \(\displaystyle{ a}\) oraz dane \(\displaystyle{ h}\) podstaw do wzoru na objętość ostrosłupa.
1. Z tw. Pitagorasa wylicz długość wysokości ściany bocznej, opuszczonej na krawędź podstawy (uzależniona od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ h}\)).
2. Z tw. Pitagorasa wylicz długość krawędzi bocznej (uzależniona od \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ a}\)).
3. Z tw. cosinusów wylicz długość drugiej wysokości ściany bocznej (uzależniona od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\)).
4. Zauważ, że pole powierzchni ściany bocznej można obliczyć na dwa sposoby (krawędź boczna + wysokość, którą wyliczyłeś z tw. cosinusów oraz krawędź podstawy \(\displaystyle{ a}\) + wysokość opuszczona na krawędź podstawy). Pola te należy przyrównać i wyznaczyć niewiadomą \(\displaystyle{ a}\), uzależniając ją od \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).
5. Wyliczoną wartość \(\displaystyle{ a}\) oraz dane \(\displaystyle{ h}\) podstaw do wzoru na objętość ostrosłupa.
-
Dakkar Fezboul
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 6 razy
Ostrosłupy - objętość
Nie bardzo wiem jak to zrobić nie wprowadzając dodatkowej zmiennej zaznaczonej na rysunku kolorem fioletowym.3. Z tw. cosinusów wylicz długość drugiej wysokości ściany bocznej (uzależniona od a i alpha).
(Na kolor pomarańczowy, proszę nie zwracać uwagi)
-
Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Ostrosłupy - objętość
zapewne chodzi o skorzystanie z kąta \(\displaystyle{ 2\alpha}\), oznaczając długość wysokości ściany bocznej opadającej na krawędź boczną przez \(\displaystyle{ h_b}\) mamy:
\(\displaystyle{ (a \sqrt{2} )^2=h_b^2+h_b^2-2h_b^2cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ (a \sqrt{2} )^2=h_b^2+h_b^2-2h_b^2cos2\alpha}\)
-
Dakkar Fezboul
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 6 razy
Ostrosłupy - objętość
Po przekształceniach (mam nadzieje, że dobrych) otrzymuje coś takiego:
\(\displaystyle{ 1-cos2\alpha=\frac{0,25a^{2}+h^{2}}{0,5a^{2}+h^{2}}}\)
..i nie bardzo wiem jak przenieść to "h" na drugą stronę.
\(\displaystyle{ 1-cos2\alpha=\frac{0,25a^{2}+h^{2}}{0,5a^{2}+h^{2}}}\)
..i nie bardzo wiem jak przenieść to "h" na drugą stronę.
-
mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Ostrosłupy - objętość
Spójrz:
\(\displaystyle{ 2a^2=2h^2-2h^2cos2\alpha\\
2a^2=2h^2(1-cos2\alpha)\\
a^2=h^2(1-cos2\alpha)\\
h^2= \frac{a^2}{1-cos2\alpha}\\
h= \frac{a}{ \sqrt{1-cos2\alpha} }}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=2h^2-2h^2cos2\alpha\\
2a^2=2h^2(1-cos2\alpha)\\
a^2=h^2(1-cos2\alpha)\\
h^2= \frac{a^2}{1-cos2\alpha}\\
h= \frac{a}{ \sqrt{1-cos2\alpha} }}\)
-
Dakkar Fezboul
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 6 razy
Ostrosłupy - objętość
Świat byłby prostszy, gdyby to jeszcze było "h" ale to jest \(\displaystyle{ h_b}\).
Dalej postępuje według twoich wskazówek.
a - długość krawędzi podstawy
b - długość krawędzi bocznej
\(\displaystyle{ P_{b}=\frac{bh_{b}}{2}=\frac{ah_{b}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{1-cos2\alpha}}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}}{\sqrt{1-cos2\alpha}}=a\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-cos2\alpha}=\frac{a\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}}{a\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}}|^{2} <--- Nie \ wiem \ czy \ tak \ mozna \ (podnosze \ obie \ strony \ do \ potegi)}\)
\(\displaystyle{ 1-cos2\alpha=\frac{0,25a^{2}+h^{2}}{0,5a^{2}+h^{2}}}\)
Dalej postępuje według twoich wskazówek.
a - długość krawędzi podstawy
b - długość krawędzi bocznej
\(\displaystyle{ P_{b}=\frac{bh_{b}}{2}=\frac{ah_{b}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{1-cos2\alpha}}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}}{\sqrt{1-cos2\alpha}}=a\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-cos2\alpha}=\frac{a\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}}{a\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}}|^{2} <--- Nie \ wiem \ czy \ tak \ mozna \ (podnosze \ obie \ strony \ do \ potegi)}\)
\(\displaystyle{ 1-cos2\alpha=\frac{0,25a^{2}+h^{2}}{0,5a^{2}+h^{2}}}\)
-
mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Ostrosłupy - objętość
prawie dobrze, spójrz:
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}}{\sqrt{1-cos2\alpha}}=a\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}\ / :a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{0,5a^{2}+h^{2}}{1-cos2\alpha}}=\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}\ / ^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{0,5a^{2}+h^{2}}{1-cos2\alpha}=0,25a^{2}+h^{2}\ / \cdot (1-cos2\alpha)}\)
\(\displaystyle{ 0,5a^2+h^2=(0,25a^2+h^2)(1-cos2\alpha)}\)
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{0,5a^{2}+h^{2}}}{\sqrt{1-cos2\alpha}}=a\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}\ / :a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{0,5a^{2}+h^{2}}{1-cos2\alpha}}=\sqrt{0,25a^{2}+h^{2}}\ / ^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{0,5a^{2}+h^{2}}{1-cos2\alpha}=0,25a^{2}+h^{2}\ / \cdot (1-cos2\alpha)}\)
\(\displaystyle{ 0,5a^2+h^2=(0,25a^2+h^2)(1-cos2\alpha)}\)
-
Dakkar Fezboul
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 29 kwie 2007, o 12:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 6 razy
Ostrosłupy - objętość
Prosiłbym o sprawdzenie. Podejrzewam, ze gdzieś jest błąd, bo pojawia się minus. Wartość h na pewno nie jest ujemna. Cosinus również nie może być ujemny, bo znajduje się pod pierwiastkiem. Najpewniej błędem było podnoszenie do potęgi obu stron równania:
\(\displaystyle{ 0,5a^2+h^2=0,25a^{2}-0,25a^{2}cos2\alpha+h^{2}-h^{2}cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ 0,25a^{2}=-0,25a^{2}cos2\alpha-h^{2}cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ h^{2}cos2\alpha=-0,25a^{2}cos2\alpha-0,25a^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}cos2\alpha=-0,25a^{2}(cos2\alpha+1)}\)
\(\displaystyle{ -0,25a^{2}=\frac{h^{2}cos2\alpha}{cos2\alpha+1}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=-\frac{4h^{2}cos2\alpha}{cos2\alpha+1}}\)
\(\displaystyle{ a=-\frac{2h\sqrt{cos2\alpha}}{\sqrt{cos2\alpha+1}}}\)
\(\displaystyle{ 0,5a^2+h^2=0,25a^{2}-0,25a^{2}cos2\alpha+h^{2}-h^{2}cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ 0,25a^{2}=-0,25a^{2}cos2\alpha-h^{2}cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ h^{2}cos2\alpha=-0,25a^{2}cos2\alpha-0,25a^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}cos2\alpha=-0,25a^{2}(cos2\alpha+1)}\)
\(\displaystyle{ -0,25a^{2}=\frac{h^{2}cos2\alpha}{cos2\alpha+1}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=-\frac{4h^{2}cos2\alpha}{cos2\alpha+1}}\)
\(\displaystyle{ a=-\frac{2h\sqrt{cos2\alpha}}{\sqrt{cos2\alpha+1}}}\)