Ostrosłupy - kąty

[Dakkar Fezboul]

W zadaniu do pewnego momentu wychodzą normalne wyniki. Później zaczynają się przybliżenia, które sugerują, że gdzieś popełniłem błąd. Tylko gdzie?

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Oblicz kąty:
a) nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.
b) nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
c) między sąsiednimi ścianami bocznymi

\(\displaystyle{ d}\)- przekątna podstawy
\(\displaystyle{ a}\) - długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ h_{b}}\) - wysokość boku

\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy
\(\displaystyle{ \beta}\) - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
\(\displaystyle{ \gamma}\) - kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi

\(\displaystyle{ d=a\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}d=\frac{a}{2}\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{a}{2}\sqrt{2})^{2}+H^{2}=a^{2}}\)

\(\displaystyle{ H^{2}=0,5a^{2}}\)

\(\displaystyle{ H=a\sqrt{0,5}}\)

\(\displaystyle{ (0,5a)^{2}+0,5a^2=h^{2}_{b}}\)

\(\displaystyle{ h^{2}_{b}=\frac{3a^{2}}{4}}\)

\(\displaystyle{ h_{b}=a\sqrt{0,75}}\)

a) \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{a\sqrt{0,5}}{\frac{a}{2}\sqrt{2}}=\frac{2a\sqrt{0,5}}{a\sqrt{2}}=\frac{2}{2}=1}\)

\(\displaystyle{ tg45^{o}=1}\)

\(\displaystyle{ \alpha=45^{o}}\)

b) \(\displaystyle{ tg\beta=\frac{a\sqrt{0,5}}{\frac{a}{2}}=\frac{2a\sqrt{0,5}}{a}=2\sqrt{0,5}=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ tg\beta\approx1,4114213562}\)

\(\displaystyle{ \beta\approx54^{o}42^{'}?}\)

[Sherlock]

Później zaczynają się przybliżenia, które sugerują, że gdzieś popełniłem błąd.

Dlaczego uważasz, że błąd?
Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) to kąt ostry którego tangens policzyłeś i wynosi on \(\displaystyle{ tg\beta= \sqrt{2}}\). Na sprawdzianie, w takim przypadku, myślę, że można w odpowiedzi zostawić właśnie wartość funkcji trygonometrycznej danego kąta (chyba, że masz tablice lub kalkulator)

[Dakkar Fezboul]

Polecenie jest podaj wartość kata, a nie podaj wartość funkcji tego kąta, więc takiej odpowiedzi raczej by nie zaliczyli.

Przy okazji, może ktoś wytłumaczyć jak wyliczyć kąt z czegoś takiego: \(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{1}{3}}\), dla drugiej ćwiartki.

[Sherlock]

więc takiej odpowiedzi raczej by nie zaliczyli.

jeśli nie można korzystać z tablic czy kalkulatorów to pozostaje tylko podać wartość funkcji (oczywiście pomijając kąty 0, 30, 45, 60, 90, 180... których wartości funkcji trygonometrycznych się zna lub można łatwo policzyć ) Zauważ, że np. dla jakiegoś kąta ostrego \(\displaystyle{ \gamma}\) jego sinus, cosinus, tangens i cotangens są jak odcisk palca, tzn. że w I ćwiartce nie ma innego kąta, który ma takie same wartości

Przy okazji, może ktoś wytłumaczyć jak wyliczyć kąt z czegoś takiego: cos alpha=- frac{1}{3}, dla drugiej ćwiartki.

wzory redukcyjne
\(\displaystyle{ cos(180^0-\alpha)=-cos\alpha}\)
pozostaje znaleźć \(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{1}{3}}\) a potem \(\displaystyle{ 180^0-\alpha}\)

[Dakkar Fezboul]

\(\displaystyle{ cos=\frac{1}{3}\approx19^{o}30^{'}}\)

\(\displaystyle{ 180^{o}-19^{o}30{'}=160^{o}30^{'}}\)

Dobrze rozumiem?

[Sherlock]

\(\displaystyle{ cos=\frac{1}{3}\approx19^{o}30^{'}}\)

nie tyle, \(\displaystyle{ cos30^0= \frac{ \sqrt{3} }{2} \approx 0,866}\), a do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) wykres maleje (dalej też) więc na pewno więcej niż \(\displaystyle{ 30^0}\)

[Dakkar Fezboul]

Na sinusy spojrzałem. Więc \(\displaystyle{ cos=\frac{1}{3}\approx70^{o}30^{'}}\)

\(\displaystyle{ 180^{o}-70^{o}30{'}=109^{o}30^{'}}\)

[Sherlock]

ok