Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
VeroneK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 17 lut 2009, o 13:57
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: VeroneK »

Dwie przekątne ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wspólnym końcu, tworzą kąt o mierze 60 stopni. Oblicz objętość graniastosłupa, jeśli jego wysokość ma długość równą \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: mmoonniiaa »

\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
podstawa składa się z sześciu trójkącików równobocznych o boku dł. \(\displaystyle{ a}\); wysokość tego trójkącika: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
przekątna ściany bocznej: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2}}\)

skorzystamy z twierdzenia cosinusów (trójkąt równoramienny o ramionach dł. \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2}}\) i podstawie dł. \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} =a \sqrt{3}}\))

ogólne tw. cos.: \(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bc cos \sphericalangle (b,c)}\)

w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ (a \sqrt{3} )^2= (\sqrt{a^2+2})^2 +(\sqrt{a^2+2})^2 -2\sqrt{a^2+2} \cdot \sqrt{a^2+2}cos60^o\\
3a^2=a^2+2+a^2+2-2(a^2+2) \frac{1}{2} \\
3a^2=a^2+2+a^2+2-a^2-2\\
2a^2=2 \Leftrightarrow a^2=1 \Leftrightarrow (a=1 \vee a=-1) \wedge a>0 \Leftrightarrow a=1}\)


Wystarczy teraz długość krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa podstawić do wzoru na objętość.
ODPOWIEDZ