Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Dwie przekątne ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wspólnym końcu, tworzą kąt o mierze 60 stopni. Oblicz objętość graniastosłupa, jeśli jego wysokość ma długość równą \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
podstawa składa się z sześciu trójkącików równobocznych o boku dł. \(\displaystyle{ a}\); wysokość tego trójkącika: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
przekątna ściany bocznej: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2}}\)
skorzystamy z twierdzenia cosinusów (trójkąt równoramienny o ramionach dł. \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2}}\) i podstawie dł. \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} =a \sqrt{3}}\))
ogólne tw. cos.: \(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bc cos \sphericalangle (b,c)}\)
w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ (a \sqrt{3} )^2= (\sqrt{a^2+2})^2 +(\sqrt{a^2+2})^2 -2\sqrt{a^2+2} \cdot \sqrt{a^2+2}cos60^o\\
3a^2=a^2+2+a^2+2-2(a^2+2) \frac{1}{2} \\
3a^2=a^2+2+a^2+2-a^2-2\\
2a^2=2 \Leftrightarrow a^2=1 \Leftrightarrow (a=1 \vee a=-1) \wedge a>0 \Leftrightarrow a=1}\)
Wystarczy teraz długość krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa podstawić do wzoru na objętość.
podstawa składa się z sześciu trójkącików równobocznych o boku dł. \(\displaystyle{ a}\); wysokość tego trójkącika: \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
przekątna ściany bocznej: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2}}\)
skorzystamy z twierdzenia cosinusów (trójkąt równoramienny o ramionach dł. \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+2}}\) i podstawie dł. \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} =a \sqrt{3}}\))
ogólne tw. cos.: \(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2-2bc cos \sphericalangle (b,c)}\)
w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ (a \sqrt{3} )^2= (\sqrt{a^2+2})^2 +(\sqrt{a^2+2})^2 -2\sqrt{a^2+2} \cdot \sqrt{a^2+2}cos60^o\\
3a^2=a^2+2+a^2+2-2(a^2+2) \frac{1}{2} \\
3a^2=a^2+2+a^2+2-a^2-2\\
2a^2=2 \Leftrightarrow a^2=1 \Leftrightarrow (a=1 \vee a=-1) \wedge a>0 \Leftrightarrow a=1}\)
Wystarczy teraz długość krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa podstawić do wzoru na objętość.