Witam.
Udowodnić, że jeżeli równoległościan ma wszystkie przekątne równej długości, to jest prostopadłościanem.
Wpadłem na taki pomysł, lecz nie wiem czy dobry:
Na pewnej ścianie będącej równoległobokiem danego równoległościanu przyjmijmy wierzchołki \(\displaystyle{ A, B, C, D}\).
Na ścianie równoległej do poprzedniej nazwijmy odpowiednio wierzchołki \(\displaystyle{ A' , B' , C' , D'}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ AC' = BD' = CA' = DB'}\).
Czworokąt \(\displaystyle{ ACC'A'}\) jest równoległobokiem, więc oznaczając \(\displaystyle{ \sphericalangle ACC' = \alpha}\) mamy wtedy \(\displaystyle{ \sphericalangle A'AC = \pi - \alpha}\).
Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ \Delta ACC' \equiv \Delta ACA' \ (bbb)}\), wobec czego otrzymuję:
\(\displaystyle{ \alpha = \pi - \alpha \iff \alpha = 90^{ \circ}}\)
Kąty przy pozostałych wierzchołkach traktujemy analogicznie i to kończy zadanie.
Proszę o sprawdzenie i znalezienie błędów
Pozdrawiam, P.