Kula wpisana w ostrostłup prawidłowy trójkątny

[nwnuinr]

Cześć,

może mi ktoś sprawdzić moje rozwiązanie?

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym dana jest długość krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\), oraz promień kuli wpisanej \(\displaystyle{ r}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Sporządź rysunek.

Rysunek:


\(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{3}}{6} \\
tg \alpha = \frac{r}{x} = \frac{2r \sqrt{3}}{a} \\
tg 2 \alpha = \frac{ 2tg \alpha}{1 - tg^{2} \alpha} = \frac{4ra \sqrt{3}}{a^{2}-12r^{2}} \\
tg 2 \alpha = \frac{h}{x} \\
\frac{4ra \sqrt{3}}{a^{2}-12r^{2}}= \frac{6h}{a \sqrt{3}} \\
h= \frac{2ra^{2}}{a^{2}-12r^{2}} \\
V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}* \frac{2ra^{2}}{a^{2}-12r^{2}}= \frac{2ra^{2}}{4(a^{2}-12r^{2})}= \frac{ra^{2}}{2(a^{2}-12r^{2})}}\)

Dobrze?

Pozdrawiam i dzięki za pomoc.

[Grzegorz t]

wygląda na to, że jest dobrze