Mam ogromną porzbe czy pomoze ktos mi w rozwiazaniu tego zadania??Bardzo mi na tym zalezy!!!
Która bryła ma wiekszą objętość:ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawedzi podstawy równej 10cm i kącie nachylenia ściany bocznej do podstawy wynoszącym 30 stopni czy graniastosłup prawidłowy czworokątny,w którym przekątna ściany bocznej o długości 10cm jest nachylona do krawedzi podstawy pod kątem 30 stopni?Jaka jest róznica objętości tych brył?
Która objętośc jest większa??
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Która objętośc jest większa??
Wyniki są takie sobie, więc może coś mam źle. Jak ktoś coś wyłapie, to niech pisze
W tym ostrosłupie, krawędzie podstawy mają a=10. Oznaczmy sobie teraz: wieszchołek jako A, punkt ,gdzie spuszczona jest wysokość jako B, no i punkt, który dzieli jedną z podstaw na połowy, jako C. Z zadania wiemy, że kąt BCA ma 30 stopni. Z zależności w trójkącie 30,60,90 ( jeśli za AC=2x to wiemy, że AB=H=x, BC=\(\displaystyle{ x \sqrt{3}}\) ). Widzimy, że z trójkąta BCA potrzebujemy długości BC. Otrzymujemy ją prosto, bo jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy, a wzór jest następujący \(\displaystyle{ h=\frac{a \sqrt{3}}{2}}\) więc \(\displaystyle{ |BC|= \frac{1}{3} \frac{10 \sqrt{3} }{2}=\frac{ 10 \sqrt{3} }{6}}\). Teraz mamy, że:
\(\displaystyle{ |BC|=x \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ frac{ 10 \sqrt{3} }{6}= x \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{5}{3}}\)
No i pozostała nam do obliczenia wysokość w ostrosłupie, czyli długość |AB| która równa jest x
Oczywiście liczymy sobie pole podstawy ( \(\displaystyle{ 25 \sqrt{3}}\) ) i podstawiamy do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} H P_{p}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \frac{5}{3} 25 \sqrt{3}= \frac{ 125 \sqrt{3} }{9}}\)
Teraz ten graniastosłup. Również skorzystamy z własności w trójkącie 30,60,90. W tym graniastosłupie oznaczmy sobie dwa wierzchołki podstawy dolnej jako A i B, a wierzchołek podstawy górnej, przez C, tak, że BC to wysokość tego graniastosłupa. Mamy teraz trójkąt ABC, w którym AC to nasza przekątna równa 10( a zarazem =2x), wtedy długość BC to x, a AB to \(\displaystyle{ x \sqrt{3}}\), więc BC ma długość 5 i AB ma długość \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\).
W tym wypadku obliczamy objętość tego graniastosłupa ze wzoru:
\(\displaystyle{ V= (|AB|)^2 |BC|}\)
\(\displaystyle{ V= ( 5 \sqrt{3})^2 5=375}\)
Wnioski już można łatwo wyciągnąć
W tym ostrosłupie, krawędzie podstawy mają a=10. Oznaczmy sobie teraz: wieszchołek jako A, punkt ,gdzie spuszczona jest wysokość jako B, no i punkt, który dzieli jedną z podstaw na połowy, jako C. Z zadania wiemy, że kąt BCA ma 30 stopni. Z zależności w trójkącie 30,60,90 ( jeśli za AC=2x to wiemy, że AB=H=x, BC=\(\displaystyle{ x \sqrt{3}}\) ). Widzimy, że z trójkąta BCA potrzebujemy długości BC. Otrzymujemy ją prosto, bo jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy, a wzór jest następujący \(\displaystyle{ h=\frac{a \sqrt{3}}{2}}\) więc \(\displaystyle{ |BC|= \frac{1}{3} \frac{10 \sqrt{3} }{2}=\frac{ 10 \sqrt{3} }{6}}\). Teraz mamy, że:
\(\displaystyle{ |BC|=x \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ frac{ 10 \sqrt{3} }{6}= x \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{5}{3}}\)
No i pozostała nam do obliczenia wysokość w ostrosłupie, czyli długość |AB| która równa jest x
Oczywiście liczymy sobie pole podstawy ( \(\displaystyle{ 25 \sqrt{3}}\) ) i podstawiamy do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} H P_{p}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \frac{5}{3} 25 \sqrt{3}= \frac{ 125 \sqrt{3} }{9}}\)
Teraz ten graniastosłup. Również skorzystamy z własności w trójkącie 30,60,90. W tym graniastosłupie oznaczmy sobie dwa wierzchołki podstawy dolnej jako A i B, a wierzchołek podstawy górnej, przez C, tak, że BC to wysokość tego graniastosłupa. Mamy teraz trójkąt ABC, w którym AC to nasza przekątna równa 10( a zarazem =2x), wtedy długość BC to x, a AB to \(\displaystyle{ x \sqrt{3}}\), więc BC ma długość 5 i AB ma długość \(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}}\).
W tym wypadku obliczamy objętość tego graniastosłupa ze wzoru:
\(\displaystyle{ V= (|AB|)^2 |BC|}\)
\(\displaystyle{ V= ( 5 \sqrt{3})^2 5=375}\)
Wnioski już można łatwo wyciągnąć