Kula wpisana w stożek

[Viper]

Tworzącą stożka widzimy ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Znajdź stosunek objętości kuli do objętości stożka.

Ktoś ma jakiś pomysł? Będę wdzięczny.

[DEXiu]

Trochę mało konkretnie. Widzimy pod kątem α ale względem czego? Przecież można różnie patrzeć Chodzi o kąt między tworzącą a podstawą stożka czy między prostą prostopadłą do tworzącej i przebiegającej przez środek kuli a np. podstawą czy wysokością stożka?

[W_Zygmunt]

Kąt pod jakim widzimy tworzącą ze środka kuli, jest jednoznaczny.
Wyobraźmy sobie, że stoimy w punkcie „S” i patrzymy na tworzącą „l”.
Znając kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), wyliczmy kąt \(\displaystyle{ \delta}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\gamma }{2}}\).
Wychodząc z wzorów na objętości, łatwo wyliczymy interesujący nas stosunek.

[DEXiu]

Aaa. To o takie "widzenie" chodzi Nie skojarzyłem Chociaż dalej nie jestem przekonany, czy "widzenie odcinka pod pewnym kątem z danego punktu" jest poprawnym wyrażeniem matematycznie rzecz ujmując

[Tomasz Rużycki]

Jest intuicyjne, a poza tym pojawia się w wielu zadaniach, więc wg mnie jest jak najbardziej poprawne.

[juzef]

"Powiadamy, że odcinek \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) widać z punktu X pod kątem \(\displaystyle{ \alpha < \pi}\), gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ m(\angle AXB)=\alpha}\)." Zdanie pochodzi z książki, więc widzenie odcinka pod kątem z danego punktu raczej nie jest wymysłem autora zbioru zadań.

[Viper]

Dziękuję za wszystkie odpowiedzi. To jednak komplikuje moją sytuację, bo w takim układzie nie bardzo mogę sobie poradzić z zapisaniem tego stosunku.
Zadanie udało mi się rozwiązać przyjmując, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest zawarty pomiędzy tworzącą stożka, a promieniem R równoległym do podstawy AB.

Natomiast na tym rysunku nie mam pojęcia jak to wszystko obliczyć. Gdyby jeszcze pomiędzy l, a R by kąt prosty..., ale go tam (chyba) nie ma .

Tak więc utknąłem na samym początku, czyli na skróceniu wzorów:

\(\displaystyle{ \frac{4 R^{3}}{r^{2}h}}\)

W życiu bym nie przypuszczał, że tak pozornie proste zadanie może sprawić tyle kłopotu...

Ktoś ma jakiś pomysł?

P.S W_Zygmunt Czy mogę zapytać w czym rysowałeś ten rysunek? Wygląda na CADa?

[DEXiu]

\(\displaystyle{ \delta=\pi-\alpha\\\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\delta=\alpha-\frac{\pi}{2}\\\gamma=2\alpha-\pi\\r=R\,ctg\frac{\gamma}{2}=R\,ctg(\alpha-\frac{\pi}{2})=-R\,tg\alpha\\h=r\,tg\gamma=-R\,tg\alpha\,tg\gamma=-R\,tg\alpha\,tg(2\alpha-\pi)=-R\,tg\alpha\,tg2\alpha}\)
Dalej już sobie poradzisz (po podstawieniu do tego twojego nieskróconego coś się powinno poskracać i poupraszczać. Jeszcze pewnie będzie można coś z tym f. tryg. pokombinować żeby było prościej i przejrzyściej

[Viper]

Chyba mam (byłbym wdzięczny za sprawdzenie). Pomiędzy R, a l musi być kąt prosty - wynika to z def. odległości. A więc tak:

\(\displaystyle{ \beta=180-90-\alpha=90-\alpha \\ \angle ABC=180-90-90+\alpha \\ \angle ABC=\alpha \\ \\ tg \frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r} \\ tg \frac{\alpha}{2}r=R \\ tg =\frac{h}{r} \\ h=tg r}\)

Podstawiając do wzoru:
\(\displaystyle{ \large \frac{4\cdot tg^{3}\frac{\alpha}{2}r^{3}}{r^{3}\cdot tg\alpha}=\frac{4\cdot tg^{3}\frac{\alpha}{2}}{tg\alpha}}\)

EDIT: Dexiu - właśnie zobaczyłem Twojego posta. Nie bardzo rozumiem linię nr 1 (to na pewno nie wyjdzie kąt \(\displaystyle{ \delta}\).)

EDIT2: Chyba błędnie założyłeś, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest zawarty pomiędzy odcinkiem CS, a SB (tak wynika z kolorystyki rysunku). Tymczasem on jest zawarty między CS, a promieniem R.

[DEXiu]

Otóż nie, drogi Viperze. To ty błędnie zasugerowałeś się albo rysunkiem (na którym W_ZYGMUNT napisał α między odcinkami R i CS ze względu na czytelność rysunku, a właściwy kąt α zaznaczył kolorem żółtym), albo sam dorobiłeś sobie definicję "widoczności" tworzącej pod kątem α . Tworząca stożka to odcinek BC (lub jak kto woli AC - na jedno wychodzi przecież). Mówimy, że odcinek "widać" z pewnego punktu (u nas S) pod pewnym kątem (u nas α ), jeśli ten kąt jest zawarty między półprotymi wyznaczonymi przez punkt S i końce odcinka (u nas B i C). Czyli \(\displaystyle{ \alpha=|\angle BSC|}\)

[Viper]

Chol...

Można zwariować

Zwykle, gdy w podręczniku używano jakiegoś określenia, to wcześniej była podana jakaś definicja. A tu NIC. Nie mając zdefiniowanego konta patrzenia nie mogłem intuicyjnie wyczuć o co chodzi (fakt, nie za dobrze przeanalizowałem definicję juzefa .

A więc wychodzi na to, że Twoje rozwiązanie jest dobre. Bardzo dziękuję za pomoc i przepraszam za kłopoty.