jedna z przyprostokątnych trójkąta równoramiennego leży w płaszczyźnie P, a druga tworzy z płaszczyzną P kat 45 ° . jaki kąt tworzy przeciwprostokatna trójkata z płaszczyzną ???
prosze o pomoc
prosta płaszczyzna i trójkąt
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
prosta płaszczyzna i trójkąt
Niech przyprostokątna leżąca w płaszczyśnie \(\displaystyle{ P}\) (oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ a}\)) będzie krawędzią pewnego prostopadłościanu, a druga przyprostokątna będzie przekątną ściany bocznej - oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ d}\) (oczywiście \(\displaystyle{ d=a}\)). Trzeba by jeszcze uzasadnić, że ta bryła faktycznie może być prostopadłościanem (znaczy że pozostałe dwie krawędzie poza \(\displaystyle{ a}\) są do niej i do siebie prostopadłe). Niech płaszczyzna \(\displaystyle{ Q}\) będzie prostopadła do pł. \(\displaystyle{ P}\) i niech przechodzi przez \(\displaystyle{ a}\) oraz niech płaszczyzna \(\displaystyle{ R}\) będzie prostopadła do pł. \(\displaystyle{ P}\) i prostopadła do \(\displaystyle{ a}\). Oczywiście \(\displaystyle{ d}\) leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ R}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ b,\,c}\) odcinki będące rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ d}\) odpowiednio na pł. \(\displaystyle{ Q\,i\,P}\). Z twierdzenia o trzech prostopadłych bezpośrednio wynika wzajemna prostopadłość odcinków \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\), czyli mamy wymiary naszego prostopadłościanu. Nie muszę chyba zbytnio uzasadniać, że skoro \(\displaystyle{ d}\) jest przekątną prostokątnej ściany o bokach \(\displaystyle{ b,\,c}\) oraz miara kąta między \(\displaystyle{ d\,i\,c}\) wynosi 45 stopni, to ściana ta jest kwadratem oraz \(\displaystyle{ b=c=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}}\). Teraz policzmy dł. przekątnej podstawy (ściany o bokach \(\displaystyle{ a,\,c}\)). Oczywiście
\(\displaystyle{ D=\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\)
Na koniec pozostaje stwierdzić, że miara szukanego kąta wynosi:
\(\displaystyle{ \phi=arctg\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}\sqrt{3}}=arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ}}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem nigdzie
\(\displaystyle{ D=\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\)
Na koniec pozostaje stwierdzić, że miara szukanego kąta wynosi:
\(\displaystyle{ \phi=arctg\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}\sqrt{3}}=arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ}}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem nigdzie