Matematyka.pl

siemka, mam problem z tymi zadankami, z góry dzięki.

1.Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku a. Krawędź AS o długości b tworzy z krawędziami podstawy AB i AC kąty równe alpha . Oblicz objętość.

i to ciekawsze.

2.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę alpha . Przez środki dwóch kolejnych krawędzi podstawy oraz przez wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę.
a)wyznacz tangens kąta, który tworzy ta płaszczyzna z płaszczyzną podstawy ostrosłupa.
b)Oblicz stosunek objętości brył podzielonych tą płaszczyzną.

Jakby ktoś od początku do końca mógł mi to wytłumaczyć byłbym bardzo wdzięczny tzn. głównie mi chodzi o ten kąt w 2 zad. , a 1 zad. to jakby mi całe mógł wytłumaczyć z góry dzięki, chyba się zaciąłem na tych zadaniach bo ich nie mogę ruszyć

Zad. 2


Kąt ACB to nasz kąt płaski \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyrazimy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) za pomocą krawędzi \(\displaystyle{ a}\) podstawy, ale najpierw wyrazimy wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\).
W trójkącie prostokątnym DCB:
\(\displaystyle{ ctg \frac{\alpha}{2}= \frac{h}{ \frac{a}{2} }}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \cdot ctg \frac{\alpha}{2}}{2}}\)

Teraz z tw. Pitagorasa liczymy H:
\(\displaystyle{ H^2+ (\frac{a}{2})^2=h^2}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2 \cdot ctg^2 \frac{\alpha}{2} }{4}-\frac{a^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2(ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1)}{4}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2}}\)

Szukany kąt z punktu a) to \(\displaystyle{ \beta}\):
\(\displaystyle{ tg\beta = \frac{H}{x}}\)
\(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przekątnej podstawy czyli \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2} \cdot \frac{4}{a \sqrt{2}} = \sqrt{2ctg^2 \frac{\alpha}{2}-2}}\)

b) płaszczyzna dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy. Objętość tego mniejszego to:
\(\displaystyle{ V_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}\)
objętość większego:
\(\displaystyle{ V_2= \frac{1}{3} \cdot (a^2-\frac{a^2}{8} ) \cdot H=\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}{\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H} = \frac{1}{7}}\)

masz może odpowiedzi do tego zadania oraz zadania 1?

edit.

Justka, podejrzewam, że w zad. 1 nie chodzi o prawidłowy ostrosłup trójkątny spodek wysokości leży zatem gdzie indziej, mam pewną koncepcję ale poczekam na ewentualną odpowiedź autora

No tak, racja ten ostrosłup wcale nie musi być prawidłowy To ja również czekam na ewentualne podanie odpowiedzi

p.s Teraz wyszło \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem

Justka pisze:Teraz wyszło\(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3-4cos^2 \alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem

Mi wyszło tak samo jak Justce. Spodek wysokości leży na wysokości trójkąta równ. poprowadzonej z wierzchołka A. Wynik się zgadza

Gdyb teraz np. krawędź \(\displaystyle{ AS=b}\) była prostopadła to płaszczyzny podstawy, \(\displaystyle{ \alpha=\sphericalangle SAC= \sphericalangle SAB=90^{\circ}}\), wtedy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H=AS=b}\) i objętość \(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3} }{12}}\) , wynik ten otrzymamy z \(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3-4cos^2 \alpha}}{12}}\), gdzie \(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)

Właśnie niestety nie mam odpowiedzi do 1 zadania, za to do 2 wynik wyszedł taki jak podał Sherlock. Ale znając te zadania podejrzewam, że wynik(Justki) jest dobry, jakbyś podała jeszcze sposób rozwiązania to byłbym wdzięczny.

oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 6 cm, a wysokość ściany cocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Proszę o pomoc w tym zadaniu.

nogawka pisze:oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 6 cm, a wysokość ściany cocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Proszę o pomoc w tym zadaniu.

zerknij na rysunek wyżej, ten po prawej
Wg treści a=6, wysokość h jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni więc:
\(\displaystyle{ tg60^0= \frac{H}{ \frac{a}{2} }}\)
wylicz H i już możesz policzyć objętość

Do pola powierzchni potrzeba policzyć h:
\(\displaystyle{ sin60^0= \frac{H}{h}}\)

PS dla nowych zadań zakładaj osobne tematy

dzięki a mam takie pytanie nie trzeba wyciągać tego trójkąta co wyjdzie z tej wysokości bocznej??????

-- 15 lut 2009, o 14:04 --

proszę pomocy wzory do tego zadania bo nie było mnie w szkole przez 1 tydzień i nie wiem jak to zrobić jak byłem to były jeszcze graniastosłupy

Załóż nowy osobny temat, to na pewno znajdzie się osoba, która odpowie na twoje pytania. Justka.

Z tw. cosinusów obliczamy długość krawędzi bocznej |CS|(c);
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab cos\alpha}\) i korzystając z tego obliczamy wysokość ściany bocznej (o bokach a,c,c), czyli
\(\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-(\frac{a}{2})^2} \iff h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+b^2-2ab cos\alpha }}\).

Korzystając z obliczonego h i tego że spodek wysokości lezy na wysokości poprowadzonej z wierzchołka A otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h^2-x^2=H^2 \\ b^2-(\frac{a\sqrt{3}}{2}-x)^2=H^2 \end{cases}}\)
Po krótkich przekształceniach
\(\displaystyle{ H=\frac{b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}}\)
Podstawiając pod wzór \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}PpH}\) dochodzimy do ostatecznego wyniku \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\)