Oblicz długość krawędzi przekątnej

[p1etro]

Długość trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny. Objętość prostopadłościanu jest równa 8cm�, a jego pole powierzchni całkowitej 28 cm�. Oblicz długość krawędzi przekątnej prostopadłościanu

[Tristan]

Oznaczmy długości boków tego prostopadłościanu jako \(\displaystyle{ a, aq, aq^2}\). Z treści zadania oraz z wzorów na objętość i pole powieszchni układamy układ:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}a aq aq^2=8\\2(a^2q+a^2q^2+a^2q^3)=28\end{array}\right.}\)
Po przekształceniach, i pamiętaniu o tym, że wszystko ma tutaj być dodatnie:P otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}aq=2\\a=5-2q\end{array}\right.}\)
Teraz już sprawa jest prosta, podstawiamy, mamy równanie kwadratowe itd.
Dostajemy dwie możliwości na q ( \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, 2}\) ) z czego mamy dwie możliwosci długości boków (4,2,1 lub1,2,4) ale ponieważ zmiana kolejności nie jest tutaj istotna, więc obliczamy z wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu, że \(\displaystyle{ d=\sqrt{4^2+2^2+1}=\sqrt{21}}\).

[p1etro]

Tristan dlaczego aq � dlaczego do kwadratu?

[Tristan]

Jeżeli dobrze zrozumiałem Twoje pytanie, to chodzi o to, dlaczego trzeci wyraz zapisałem jako \(\displaystyle{ aq^2}\)? Jeśli o to chodziło, to już odpowiadam: ponieważ te trzy boki, to kolejne trzy wyrazy ciągu geometrycznego, a z jego definicji mamy, że \(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} q^{n-1}}\), więc trzeci wyraz, a zarazem trzeci bok to \(\displaystyle{ a_{3}=a_{1}q^{3-1}}\) a ponieważ w moich oznaczeniach \(\displaystyle{ a_{1}=a}\), więc \(\displaystyle{ a_{3}=aq^2}\).

[p1etro]

Tristan, mam problem z obliczeniem nierówności mianowicie chodzi mi skoro wzór na objętość to \(\displaystyle{ V=a*b*c}\), a w tym przypadku to będzie \(\displaystyle{ V= aq^{2}*aq*a}\)
\(\displaystyle{ V=8cm}\)
\(\displaystyle{ aq=2}\)
\(\displaystyle{ a=5-2q}\)
Mając te dane podstawiam je do wzoru:
\(\displaystyle{ 8=aq^{2}*(5-2q)*2}\)
\(\displaystyle{ q=(10,2)}\)
może coś pogmachmałem albo coś jak możesz to naprowadź mnie na dobrą droge .
Jak możesz wy wyjaśnij jak obliczyłeś q

[Tristan]

Po pierwsze, bardzo bym prosił o użwanie Texa, i jeśli mógłbyś, to poprawienie tego posta -byłbym wdzięczny. A co Twojego pytania - to po prostu drobne przeoczenie, ponieważ a nie jest równe 5-q, lecz \(\displaystyle{ a=5-2q}\)

[p1etro]

ostatnia prośba czy możesz rozpisać jak ułożyłeś równanie i obliczyłeś q

[Tristan]

Tak, mogę spełnić Twoją prośbę. Lecz jeśli Ty nie spełnisz mojej i nie poprawisz swoich postów, nie wpiszesz danych wyrażeń w Texu, to co wtedy? Ufam, że jesteś roztropny i wiesz, że za dobro odpłaca się dobrem.

Zakładając, że boki prostopadłościanu to a,b,c to w naszych oznaczeniach wygodnie będzie posłużyć się podstawieniami, które biorą się z faktu, że te boki to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, ale najpierw skorzystamy z kilku definicji:
Objętość prostopadłościanu to \(\displaystyle{ V=abc}\). Pole powieszchni całkowitej prostopadłościanu to \(\displaystyle{ P_{c}=2(ab+ac+bc)}\). Długość przekątnej prostopadłościanu to \(\displaystyle{ d= \sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

Podkładając za \(\displaystyle{ b=aq}\), a za \(\displaystyle{ c=aq^2}\) i zostawiając oczywiście \(\displaystyle{ a}\) otrzymujemy, z danych w zadaniu, że:
\(\displaystyle{ 8= a aq aq^2}\)
\(\displaystyle{ 8=a^3 q^3}\)
\(\displaystyle{ 2=aq}\)

oraz
\(\displaystyle{ 28=2(a aq+ a\cdot aq^2 + aq aq^2)}\)
\(\displaystyle{ 14=aq a+ (aq)^2+ (aq)^2 q}\)
\(\displaystyle{ 14=2a+4+4q}\)
\(\displaystyle{ 10=2a+4q}\)
\(\displaystyle{ 5=a+2q}\)
\(\displaystyle{ a=5-2q}\)
Oczywiście, dokonałem tutaj podstawienia za \(\displaystyle{ aq=2}\). Teraz podstawię otrzymaną wartość \(\displaystyle{ a}\) do wcześniejszego wzoru i otrzymam, że:
\(\displaystyle{ 2=(5-2q) q}\)
\(\displaystyle{ -2q^2+5q=2}\)
\(\displaystyle{ 2q^2-5q+2}\)
Obliczam deltę i pierwiastki. Otrzymuję, że \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2} q=2}\). Podstawiając do wcześniejszych wzorów na boki prostopadłościanu, otrzymujemy, że możliwe boki to 1,2,4 lub 4,2,1. Widzimy jednak, że kolejność nie jest tutaj istotna. Boki te podkładam więc do wzoru z definicji, aby otrzymać długość przekątnej, która równa jest \(\displaystyle{ \sqrt{21}}\).