Wysokość stożka podzielono na trzy równe [Matura]

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

Wysokość stożka podzielono na trzy równe [Matura]

Post autor: mariusz689 »

R-2
Zadanie 7.
Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i prze punkt podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Wysokość stożka podzielono na trzy równe [Matura]

Post autor: Sherlock »

Naszkicuję tylko ideę rozwiązania , zrób przekrój osiowy stożka i narysuj linie dzielące wysokość. Powstały trzy trójkąty podobne. Cały przekrój to trójkąt równoramienny, oznaczmy go przez A, mniejszy trójkąt B i najmniejszy, u samej góry, C. Z podobieństwa A do B (h - wysokość):
\(\displaystyle{ h_B= \frac{2}{3} h_A}\)
\(\displaystyle{ \frac{h_A}{h_B}= \frac{3}{2}}\)

Z podobieństwa A do C (h - wysokość):
\(\displaystyle{ h_C= \frac{1}{3} h_A}\)
\(\displaystyle{ \frac{h_A}{h_C}= 3}\)


Wiadomo, że w figurach podobnych stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.
\(\displaystyle{ \frac{V_A}{V_B}= (\frac{3}{2})^3= \frac{27}{8}}\)
\(\displaystyle{ V_B= \frac{8V_A}{27}}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_A}{V_C}= 3^3= 27}\)
\(\displaystyle{ V_C= \frac{V_A}{27}}\)

gdzie \(\displaystyle{ V_A}\) to objętość stożka wyjściowego
\(\displaystyle{ V_B}\) to objętość stożka "średniego"
\(\displaystyle{ V_C}\) to objętość stożka "małego" u szczytu

Teraz policzymy objętości części podzielonego stożka. Zaczniemy z góry
I część to stożek o objętości \(\displaystyle{ V_C=\frac{V_A}{27}}\)
II część ma objętość: \(\displaystyle{ V_B-V_C=\frac{8V_A}{27}-\frac{V_A}{27}=\frac{7V_A}{27}}\)
III część, na dole ma objętość \(\displaystyle{ V_A-V_B=V_A- \frac{8V_A}{27}= \frac{19V_A}{27}}\)
Zatem stosunek objętości powstałych brył to 1:7:19... masz może rozwiązanie?
mariusz689
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 lut 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: LBN
Podziękował: 48 razy

Wysokość stożka podzielono na trzy równe [Matura]

Post autor: mariusz689 »

Wynik jest prawidłowy, dzięki
ODPOWIEDZ