Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość a, a krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alfa.
Dodam od razu inne zadania :
1)Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna ma długość d i jest nachylona do podstawy pod kątem alfa.
2)Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca jeśli przekątna przekroju osiowego ma długość d i jest nachylona do podstawy pod kątem alfa.
Objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowe
-
piotrek1718
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 5 sty 2009, o 19:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 37 razy
Objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowe
W podstawie mamy kwadrat o boku a, a kąt alfa jest między krawędzią boczną, a przekątną podstawy.
(Tak na marginesie to bez rysunku się chyba nie obejdzie, radze narysować)
Wprowadzę oznaczenia:
d - przekątna podstawy
H - wysokośc ostrosłupa
h - wysokość ściany bocznej (wysokość trójkąta)
\(\displaystyle{ d = a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}d = \frac{a \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{1}{2} d} = tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{a \sqrt{2}}{2} tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}P_p * H = \frac{1}{3} a^2 * \frac{a \sqrt{2}}{2} tg \alpha = \frac{a^3 \sqrt{2} }{6} tg \alpha}\)
Teraz pole:
\(\displaystyle{ h^2 = H^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2}\)
Po podstawieniu & przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}a \sqrt{2tg^2 \alpha + 1}}\)
\(\displaystyle{ P = P_p + 4* P_t}\)
\(\displaystyle{ P = a^2 + 4 * \frac{1}{2}*a*h}\)
\(\displaystyle{ P = a^2 + a^2\sqrt{2tg^2 \alpha + 1} = a^2 \left(1+ \sqrt{2tg^2 \alpha + 1}\right)}\)
(Tak na marginesie to bez rysunku się chyba nie obejdzie, radze narysować)
Wprowadzę oznaczenia:
d - przekątna podstawy
H - wysokośc ostrosłupa
h - wysokość ściany bocznej (wysokość trójkąta)
\(\displaystyle{ d = a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}d = \frac{a \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{ \frac{1}{2} d} = tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{a \sqrt{2}}{2} tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}P_p * H = \frac{1}{3} a^2 * \frac{a \sqrt{2}}{2} tg \alpha = \frac{a^3 \sqrt{2} }{6} tg \alpha}\)
Teraz pole:
\(\displaystyle{ h^2 = H^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2}\)
Po podstawieniu & przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}a \sqrt{2tg^2 \alpha + 1}}\)
\(\displaystyle{ P = P_p + 4* P_t}\)
\(\displaystyle{ P = a^2 + 4 * \frac{1}{2}*a*h}\)
\(\displaystyle{ P = a^2 + a^2\sqrt{2tg^2 \alpha + 1} = a^2 \left(1+ \sqrt{2tg^2 \alpha + 1}\right)}\)