Był sobie graniastosłup...

[Viper]

Może ktoś ma jakiś pomysł? Próbowałem z twierdzenia sinusów i cosinusów, ale za każdym razem mam inny wynik niż w odpowiedziach...

W prawidłowym graniastosłupie czworokątnym przekątna podstawy ma długość a i tworzy kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) z przekątną ściany bocznej, przy czym obie przekątne mają jeden punkt wspólny. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

[Emiel Regis]

Mi wyszło:
\(\displaystyle{ V=\frac{a^3}{2}\sqrt{\frac{cos(beta)}{2(1-cos(beta))}}}\)
\(\displaystyle{ P_{c}=a^{2}+2a^{2}\sqrt{\frac{cos(beta)}{1-cos(beta)}}\)
\(\displaystyle{ beta=180-2*alfa}\)

Oczywiście bawiąc sie wzorami trygonometrycznymi można by te wyniki przekształcić jeszcze, dlatego to że mi albo Tobie wyszło coś innego niż jest w odpowiedziach to wcale nie świadczy że musi być źle. Aczkolwiek może być: )
Najprościej zeby sprawdzić poprawność to podstaw sobie jakieś określone liczby do obu wzorów. I porównaj wyniki.
Z ciekawości, napisz mi wyniki jakie są podane przez autorów.

[Viper]

Z tego co pamiętam mnie wychodziło podobnie. Wytłumacz mi tylko skąd się wzięło a^3 u Ciebie? Ja korzystałem ze wzoru na pole kwadratu jako połowa iloczynu przekątnych.

Oto wyniki autorów:
\(\displaystyle{ V=\frac{a^{3}}{4cos\alpha}\sqrt{-cos2\alpha}; P=a^{2}(1+\frac{\sqrt{2}}{cos\alpha}\sqrt{-cos2\alpha})}\) .

Takiej postaci nie mogę za nic otrzymać. Może Ty spróbujesz? Dziękuję za pomoc.

EDIT: Takie małe pytanko: korzystałeś z twierdzenia sinusów, czy cosinusów? Bo mnie się wydaje, że prościej będzie z sinusów, no ale skoro w odpowiedzi są cosinusy, to chyba to przesądza sprawę...

EDIT2: Dziwie mnie, że pod pierwiastkiem parzystego stopnia jest minus

[Emiel Regis]

Ja korzystałem ze wzoru na pole kwadratu jako połowa iloczynu przekątnych.

Można tak, ale skoro przekątna jest a to bok musi być \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\)

EDIT: Takie małe pytanko: korzystałeś z twierdzenia sinusów, czy cosinusów? Bo mnie się wydaje, że prościej będzie z sinusów, no ale skoro w odpowiedzi są cosinusy, to chyba to przesądza sprawę...

Z cosinusów

EDIT2: Dziwie mnie, że pod pierwiastkiem parzystego stopnia jest minus

To akurat nie przeszkadza, załóż sobie np że alfa=60, wtedy cos(2alfa) jest ujemny, wiec -cos(2alfa) będzie dodatni.

Podstawiłem konkretne liczby i zarówno z moich jak i autorów wzorów wychodza te same wyniki, wiec mozna przypuszczać że wzory są tożsamościowe, jeśli chcesz to spróbuj je przekształcić, powodzenia: )

[DEXiu]

Hehe W wątku Wyznacz objętość graniastosłupa p1etro zamieścił zadanie prawie identyko jak to, tylko że u niego była dana przekątna ściany a nie podstawy no i nie było polecenia obliczenia pola (chociaż to już dość proste było).

[Viper]

Taka ciekawostka: dzisiaj wstałem rano i machnąłem to zadanie za pierwszym razem i wyszedł mi taki wynik jak u autorów . Zresztą tożsamościowy z wynikiem drizzta.

Dziękuję za pomoc.