Ostrosłup prawidłowy trójkątny [kąty]

[blondynaaa]

W ostrosłupie prawidłowym 3-kątnym krawędź boczna ma długość 12cm, a wysokość ostrosłupa 10cm. Oblicz:
A. kąt nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy;
B. kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy;

[Fl3t05]

a) \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{10}{12}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 57^{o}}\)

[blondynaaa]

hmm, czyli odczytywanie z tablic. a co jeśli chodzi o B. ?

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

A. kąt nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy;

żeby go policzyć musimy najpierw policzyć krawędź podstawy. W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku a. Spodek wysokości ostrosłupa to środek okręgu wpisanego i opisanego na podstawie. Wiemy, że promień R okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to:
\(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ R^2+10^2=12^2}\)
\(\displaystyle{ R^2=44}\)
\(\displaystyle{ R=2 \sqrt{11}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{3}=2 \sqrt{11}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{6 \sqrt{11} }{ \sqrt{3} } =2 \sqrt{33}}\)

zatem:
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \frac{a}{2} }{12}= \frac{ \sqrt{33} }{12}}\)

B. kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy;

r to promień okręgu wpisanego w podstawę (trójkąt równoboczny)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{2 \sqrt{33} \sqrt{3} }{6}= \sqrt{11}}\)
\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{10}{ \sqrt{11} } = \frac{10 \sqrt{11} }{11}}\)