ostrosłup, objętość

irracjonalistka · Post autor: **irracjonalistka** » 11 lut 2009, o 16:17

podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny. Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość ostrosłupa.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 11 lut 2009, o 18:25

Zatem spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanym na podstawie.

mariusz689 · Post autor: **mariusz689** » 11 lut 2009, o 18:54

Jak sobie rozrysujesz podstawę możesz zobaczyć że wysokość ostrosłupa leży na przeciwprostokątnej (trójkąta równoramiennego) dokładniej to na jej środku. Oznacz że przeciwprostokątna równa się 2x Stąd pole podstawy \(\displaystyle{ P _{p} = x ^{2}}\) łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{d}}\) ; \(\displaystyle{ x=d*cos \alpha}\)

Teraz wysokość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{h}{d}}\)

Stąd Objętość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}Pp*h}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{d ^{3}*sin \alpha *cos \alpha }{3}}\)

jop · Post autor: **jop** » 5 kwie 2009, o 19:34

hej
mam pytanie do tego zadania.
skad wiadomo ze wysokosc ostroslupa lezy na srodku przeciwprostokątnej trójkąta podstawy?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 kwie 2009, o 21:10

jop pisze:skad wiadomo ze wysokosc ostroslupa lezy na srodku przeciwprostokątnej trójkąta podstawy?

przecież piasek101 pisze:Zatem spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanym na podstawie.

A środek opisanego na trójkącie prostokątnym leży ...

jop · Post autor: **jop** » 5 kwie 2009, o 21:23

no tak ale skad wiadomo ze spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanym na podstawie?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 kwie 2009, o 22:03

jop pisze:no tak ale skad wiadomo ze spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanym na podstawie?

Z treści zadania - jednakowe krawędzie boczne pod takim samym katem do podstawy.

jop · Post autor: **jop** » 5 kwie 2009, o 22:15

aha, czyli zawsze jak w ostrosłupie są jednakowe krawędzie boczne pod takim samym kątem do podstawy to spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanego na podstawie? to taka własność dla każdego wielokąta w podstawie?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 kwie 2009, o 22:18

tak

Wystarczy jeden warunek - albo wszystkie boczne równe, albo pod takim samym kątem.

jop · Post autor: **jop** » 5 kwie 2009, o 22:36

dzięki - taka własność dużo ułatwia

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 kwie 2009, o 22:38

Dołożę - gdy masz ściany boczne pod takim samym kątem do podstawy to spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu wpisanym w podstawę.